python代码实现基rFFT

下面是 Python 代码实现基于快速傅里叶变换（FFT）的实数序列的快速傅里叶变换（rFFT）：

import numpy as np

def rfft(x):
    N = len(x)
    if N % 2 != 0:
        raise ValueError("Length of input must be even.")
    X = np.fft.fft(x)
    real_X = np.zeros(N//2+1)
    imag_X = np.zeros(N//2+1)
    real_X[0] = X[0].real
    real_X[-1] = X[-1].real
    imag_X[0] = X[0].imag
    imag_X[-1] = X[-1].imag
    for k in range(1, N//2):
        real_X[k] = (X[k] + X[N-k].conjugate()).real / 2
        imag_X[k] = (X[k] - X[N-k].conjugate()).imag / 2
    return real_X + 1j * imag_X

其中，输入参数 `x` 是一个实数序列（长度必须为偶数），输出结果是其 rFFT 的复数序列。算法的实现基于以下性质：

- 实数序列的 N 点 FFT 有 N/2+1 个不同的频率分量，对应着 0 到 N/2 的正频率和 N/2 到 N-1 的负频率。
- 实数序列的 FFT 是对称的，即 X[k] = X[N-k].conjugate()。
- 实数序列的 FFT 中，实部部分的第 k 个分量等于 X[k].real，虚部部分的第 k 个分量等于 X[k].imag。
- 实数序列的 rFFT 可以通过 FFT 的结果计算得到，具体计算方法为：

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Re}(X_k) &= \frac{1}{2} (\operatorname{Re}(X_k) + \operatorname{Re}(X_{N-k})) \\
\operatorname{Im}(X_k) &= \frac{1}{2j} (\operatorname{Im}(X_k) - \operatorname{Im}(X_{N-k}))
\end{aligned}
$$

其中，$j=\sqrt{-1}$。