伽马函数满足阶乘的所有性质吗？

伽玛函数不完全满足阶乘的所有性质，但它与阶乘有很多相似之处。伽玛函数的定义是：

$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,\quad \text{Re}(z)>0$$

其中，$\text{Re}(z)$ 表示 $z$ 的实部。

伽玛函数有以下性质：

1. $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$，类似于阶乘的递推式。

2. $\Gamma(n+1) = n!$，这意味着伽玛函数在正整数处取到阶乘的值。

3. $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$，这是一个非常重要的结果，因为它使得我们能够用伽玛函数来计算很多与圆周率和高斯分布相关的积分。

4. $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin (\pi z)}$，这个公式称为欧拉反演公式，它和阶乘的欧拉反演公式非常相似。

虽然伽玛函数和阶乘有很多相似之处，但它们之间还是有一些区别的。例如，伽玛函数在负整数处并不是有定义的，而阶乘在负整数处是无穷小的。此外，伽玛函数是一个连续函数，而阶乘是一个离散函数。