设GG为两个群，f:G1同构于G2，证明｜a｜=｜f（a ）｜，其中a属于G1

由于f是G1到G2的同构映射，因此f是双射，也就是说，对于G1中的任意一个元素a，都存在唯一的一个元素f(a)属于G2与之对应。我们需要证明的是，a和f(a)的阶相等，即|a|=|f(a)|。

设|a|=n，也就是说，a的阶是n，即aⁿ=e，其中e是G1的单位元素。那么我们考虑f(a)的阶：

因为f是同构映射，因此f(e)=e，其中e是G2的单位元素。

我们有f(aⁿ) = f(a)ⁿ，其中n是正整数。这是因为同构映射保持运算，即对于任意的a和b属于G1，有f(a*b)=f(a)*f(b)。因此，我们有：

f(aⁿ) = f(a*a*...*a) = f(a)*f(a)*...*f(a) = f(a)ⁿ

因此，我们有：

f(a)ⁿ = f(aⁿ) = f(e) = e

这意味着f(a)的阶至少是n。假设f(a)的阶大于n，则存在一个正整数m>n使得f(a)ⁿ=e。但是这样就有：

f(aⁿ) = f(a)ⁿ = eⁿ = e

这意味着aⁿ的像是G2的单位元素，也就是说aⁿ在f上的像的阶是1。但是这与我们之前得出的f(a)的像的阶至少是n的结论相矛盾，因此假设不成立，即f(a)的阶不能大于n。

综上所述，f(a)的阶等于n，即|f(a)|=n=|a|。证毕。