设GG为两个群,f:G1同构于G2,证明|a|=|f(a )|,其中a属于G1
时间: 2023-06-12 18:05:31 浏览: 86
由于f是G1到G2的同构映射,因此f是双射,也就是说,对于G1中的任意一个元素a,都存在唯一的一个元素f(a)属于G2与之对应。我们需要证明的是,a和f(a)的阶相等,即|a|=|f(a)|。
设|a|=n,也就是说,a的阶是n,即aⁿ=e,其中e是G1的单位元素。那么我们考虑f(a)的阶:
因为f是同构映射,因此f(e)=e,其中e是G2的单位元素。
我们有f(aⁿ) = f(a)ⁿ,其中n是正整数。这是因为同构映射保持运算,即对于任意的a和b属于G1,有f(a*b)=f(a)*f(b)。因此,我们有:
f(aⁿ) = f(a*a*...*a) = f(a)*f(a)*...*f(a) = f(a)ⁿ
因此,我们有:
f(a)ⁿ = f(aⁿ) = f(e) = e
这意味着f(a)的阶至少是n。假设f(a)的阶大于n,则存在一个正整数m>n使得f(a)ⁿ=e。但是这样就有:
f(aⁿ) = f(a)ⁿ = eⁿ = e
这意味着aⁿ的像是G2的单位元素,也就是说aⁿ在f上的像的阶是1。但是这与我们之前得出的f(a)的像的阶至少是n的结论相矛盾,因此假设不成立,即f(a)的阶不能大于n。
综上所述,f(a)的阶等于n,即|f(a)|=n=|a|。证毕。
相关问题
有限域F,证明|F|=p^n,p为其特征
设F是一个有限域,其特征为p,我们需要证明|F|=p^n,其中n是一个正整数。
由于F是一个有限域,因此它必须包含一个有限的域,这个域通常表示为GF(p^n),其中GF表示Galois域。因此,我们需要证明F和GF(p^n)是同构的。
首先考虑特殊情况,当n=1时,即F是一个特征为p的有限域。对于任意的正整数k,我们可以将F中的元素表示为:
a = kp + r
其中0 <= r < p,因为p是特征,所以pa = 0。因为F是一个域,所以每个非零元素都有一个乘法逆元。因此,对于除0以外的任意元素a,我们可以定义一个函数f,将它映射到GF(p)中的一个元素:
f(a) = r
这个函数是一个双射,因此它是一个同构。因此,F和GF(p)是同构的。
对于一般情况,我们可以使用扩域的概念来证明。考虑一个n次多项式f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0,其中a_i是GF(p)中的元素。定义一个新的域GF(p^n),它包含了所有满足f(x) = 0的n次多项式。GF(p^n)中的元素可以表示为GF(p)中的一个n次多项式模f(x)的余数,因此GF(p^n)中的元素个数是p^n。
我们可以将F看作GF(p^n)的子域,这是因为F中的每个元素都可以看作是GF(p^n)中的元素的一个线性组合,其中系数来自GF(p)。因此,F和GF(p^n)是同构的,它们的元素个数相同,即|F|=p^n。
因此,我们证明了有限域F的元素个数为p^n,其中p是其特征,n是一个正整数。
设平面图G=是自对偶图,证明|E|=2(|V|-1)
设平面图G为自对偶图,即G的平面对偶图同构于G本身。由欧拉公式,有:
V - E + F = 2
其中V、E、F分别为G的顶点数、边数、面数。因为G是平面图,所以每个面都是由至少三条边围成的简单多边形,所以有:
3F ≤ 2E
同时,由于G是自对偶图,所以F=E/2。将上述两式代入欧拉公式中,得到:
V - E + E/2 ≤ 2
化简可得:
E ≤ 2(V - 1)
因此,证明了当G为自对偶图时,有|E|=2(|V|-1)。
相关推荐
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)