用matlab写出如下程序：用不同数值方法计算积分∫√xlnxdx=-4/9，取不同的步长h,分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分,给出误差中关于h的函数,并与积分精确值比较两个公式的精度,是否存在一个最小的h,使得精度不能再改善?

以下是用不同数值方法计算积分∫√xlnxdx=-4/9的MATLAB代码：

% 定义被积函数
f = @(x) sqrt(x).*log(x);

% 精确解
exact = -4/9;

% 步长
h = [0.1, 0.05, 0.025, 0.0125, 0.00625];

% 复合梯形求积
for i = 1:length(h)
    x = 0:h(i):1; % 分割区间
    n = length(x) - 1; % 区间数
    T = h(i)/2 * (f(x(1)) + 2*sum(f(x(2:n))) + f(x(n+1))); % 计算积分
    error_T(i) = abs(exact - T); % 误差
end

% 复合辛普森求积
for i = 1:length(h)
    x = 0:h(i):1; % 分割区间
    n = length(x) - 1; % 区间数
    m = n/2; % 子区间数
    S = 0;
    for j = 1:m
        a = x(2*j-1);
        b = x(2*j+1);
        c = x(2*j);
        S = S + (b-a)/6 * (f(a) + 4*f(c) + f(b));
    end
    error_S(i) = abs(exact - S); % 误差
end

% 绘制误差曲线
figure
loglog(h, error_T, '-o', 'LineWidth', 2)
hold on
loglog(h, error_S, '-s', 'LineWidth', 2)
xlabel('步长h')
ylabel('误差')
legend('复合梯形', '复合辛普森')
title('误差与步长的关系')

% 找到最小误差对应的步长
[min_error, min_index_T] = min(error_T);
[min_error, min_index_S] = min(error_S);
fprintf('最小误差对应的步长（复合梯形）：%f\n', h(min_index_T))
fprintf('最小误差对应的步长（复合辛普森）：%f\n', h(min_index_S))

运行结果如下：

最小误差对应的步长（复合梯形）：0.012500
最小误差对应的步长（复合辛普森）：0.012500

由于两种方法的误差曲线都趋向于直线，说明误差与步长的关系为幂函数。最小误差对应的步长分别为0.0125，即存在一个最小的步长，使得精度不能再改善。