用matlab编写以下程序：计算√x*lnx在[0，1]上的积分等于-4/9。取不同的步长h，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善。

在MATLAB中，你可以通过数值积分功能如`quad`或`integral`来计算给定函数的积分。首先，你需要定义你要积分的函数 `f(x) = sqrt(x)*log(x)`，然后使用不同的步长 `h` 进行复合梯形法则 (`trapz`) 和复合辛普森法则 (`romb` 或 `quadgk`，后者更精确）的估算。

下面是一个简单的步骤示例：

% 定义函数
function f = integrand(x)
    f = sqrt(x).*log(x);
end

% 精确积分值
exact_integral = -4/9;

% 设置步长范围 (例如从0.01到0.001)
h_values = logspace(-2, -4); % 从0.01到0.00001

% 复合梯形法则求积
trapezoidal_approximations = trapz(linspace(0, 1, 1/h_values), integrand(linspace(0, 1, 1/h_values)));

% 复合辛普森法则求积（使用quadgk）
simplifiedson_approximations = zeros(size(h_values));
for i = 1:length(h_values)
    simplifiedson_approximations(i) = quadgk(@integrand, 0, 1, 'RelTol', h_values(i));
end

% 计算误差并绘制
errors_trapezoidal = abs(trapezoidal_approximations - exact_integral);
errors_simplifiedson = abs(simplifiedson_approximations - exact_integral);

% 绘制误差与h的关系图
figure;
plot(h_values, errors_trapezoidal, 'bo-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Trapezoidal Error');
hold on;
plot(h_values, errors_simplifiedson, 'rs-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Simpson Error');

xlabel('Step Size (h)');
ylabel('Error');
legend;

% 搜索最小的h，使得误差不再减小
[min_error_trapezoidal, min_h_trapezoidal] = min(errors_trapezoidal);
[min_error_simplifiedson, min_h_simplifiedson] = min(errors_simplifiedson);

fprintf('For Trapezoidal rule: Minimum error occurs at h = %e with an error of %e\n', min_h_trapezoidal, min_error_trapezoidal);
fprintf('For Simpson rule: Minimum error occurs at h = %e with an error of %e\n', min_h_simplifiedson, min_error_simplifiedson);

这个程序会生成两个误差曲线图，以及找到每个规则下使得误差达到最低点的步长 `h` 和对应的误差。随着 `h` 的减小，误差通常会逐渐降低，但当 `h` 趋近于0时，实际数值解可能会受到浮点数精度限制而无法进一步改进。