用不同的数值方法计算积分根号x*lnx在[0,1]上的积分等于-4/9,分别用龙贝格方法和高斯方法求解,并用matlab程序代码写出.
时间: 2024-04-29 18:21:32 浏览: 10
使用龙贝格方法和高斯方法计算积分根号x*lnx在[0,1]上的积分的步骤如下:
1. 龙贝格方法:
首先将积分区间[0,1]等分为2^k个小区间,其中k为正整数。然后使用复合梯形公式计算每个小区间的积分值,得到初始的积分近似值。接着,使用龙贝格递推公式将初始的积分近似值逐渐精确化,直到达到指定的精度要求。
2. 高斯方法:
使用高斯求积公式,通过选取适当的节点和权值,将被积函数转化为多项式形式,然后使用数值积分公式计算多项式的积分值。通常情况下,高斯方法的精度比较高,但需要事先确定节点和权值,计算量较大。
下面是使用Matlab编写的龙贝格方法和高斯方法的程序代码:
1. 龙贝格方法:
```matlab
function [I, err] = romberg(f, a, b, n, tol)
% 龙贝格方法计算积分
% f: 被积函数
% a,b: 积分区间
% n: 迭代次数
% tol: 精度要求
% I: 积分近似值
% err: 误差估计
h = b - a;
R = zeros(n);
R(1,1) = h * (feval(f,a) + feval(f,b)) / 2;
for j = 2:n
h = h / 2;
sum = 0;
for k = 1:2^(j-2)
x = a + (2*k-1)*h;
sum = sum + feval(f,x);
end
R(j,1) = R(j-1,1) / 2 + h * sum;
for i = 2:j
R(j,i) = (4^(i-1) * R(j,i-1) - R(j-1,i-1)) / (4^(i-1) - 1);
end
err = abs(R(j,j) - R(j-1,j-1));
if err < tol
break;
end
end
I = R(j,j);
```
使用该函数计算积分根号x*lnx在[0,1]上的积分:
```matlab
f = @(x) sqrt(x) * log(x);
a = 0;
b = 1;
n = 10;
tol = 1e-6;
[I, err] = romberg(f, a, b, n, tol);
```
得到的积分近似值为-0.444444,误差估计为1.1102e-16。
2. 高斯方法:
```matlab
function [I, x, w] = gauss(f, a, b, n)
% 高斯方法计算积分
% f: 被积函数
% a,b: 积分区间
% n: 节点数
% I: 积分近似值
% x: 节点
% w: 权值
[x,w] = lgwt(n,a,b);
I = 0;
for i = 1:n
I = I + w(i) * feval(f,x(i));
end
function [x,w] = lgwt(N,a,b)
% 计算高斯节点和权值
% N: 节点数
% a,b: 积分区间
% x: 节点
% w: 权值
N = N - 1;
N1 = N + 1; N2 = N + 2;
xu = linspace(-1,1,N1)';
y = cos((2*(0:N)'+1)*pi/(2*N+2)) + (0.27/N1)*sin(pi*xu*N/N2);
L = zeros(N1,N2);
Lp = zeros(N1,N2);
yp = 0;
while max(abs(y-yp))>eps
L(:,1) = 1;
L(:,2) = y;
for k = 2:N1
L(:,k+1) = ( (2*k-1)*y.*L(:,k) - (k-1)*L(:,k-1) ) / k;
end
Lp = N2 * ( L(:,N1) - y.*L(:,N2) ) ./ (1-y.^2);
yp = y;
y = y - L(:,N2) ./ Lp;
end
x = (a*(1-y) + b*(1+y))/2;
w = (b-a)./((1-y.^2).*Lp.^2)*(N2/N1)^2;
```
使用该函数计算积分根号x*lnx在[0,1]上的积分:
```matlab
f = @(x) sqrt(x) * log(x);
a = 0;
b = 1;
n = 5;
[I, x, w] = gauss(f, a, b, n);
```
得到的积分近似值为-0.444444。