用换元积分法求解积分上限为e²,积分下限为e,lnx/x dx
时间: 2024-03-31 07:37:25 浏览: 13
首先,我们可以将被积函数写成一个更方便的形式:
$\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{x} \ln x$
然后,我们令 $u = \ln x$,$du = \frac{1}{x} dx$,这样被积函数就变成了:
$\int_{e}^{e^2} \frac{\ln x}{x} dx = \int_{1}^{2} u \cdot du$
最后,我们可以用换元积分法将积分求解出来:
$\int u \cdot du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} \bigg|_{e}^{e^2} = \frac{(\ln e^2)^2}{2} - \frac{(\ln e)^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
因此,$\int_{e}^{e^2} \frac{\ln x}{x} dx = \frac{3}{2}$。
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为什么ln²x 的导数是 2lnx/x。
ln²x 的导数是多项式 2lnx/x。这是因为,根据链式法则,我们可以将 ln²x 视为 ln(u) 的平方,其中 u = x。因此,根据链式法则,我们有:
d/dx ln²x = d/dx (ln(u))² = 2ln(u) * du/dx
将 u = x 代入,得到:
d/dx ln²x = 2ln(x) * d/dx x = 2ln(x)/x
因此,ln²x 的导数是 2lnx/x。
(sinx*lnx)/x怎么求不定积分
可以通过分部积分法来求解这个不定积分。具体的步骤如下:
设u = ln(x),dv = sin(x)/x dx,则du = 1/x dx,v = -cos(x)。
根据分部积分公式:∫u dv = u*v - ∫v du,将u和v代入得:
∫(sin(x)*ln(x))/x dx = -ln(x)cos(x) + ∫(cos(x)/x) dx
对于第二个积分,可以使用级数展开的方法求解:∫(cos(x)/x) dx = ∫(1 - x^2/2! + x^4/4! - ...) dx = sin(x) - xcos(x)/2! + x^3sin(x)/4! - ...
将这个结果代回原式,得到最终的不定积分为:
∫(sin(x)*ln(x))/x dx = -ln(x)cos(x) + sin(x) + C,其中C为积分常数。
注意,这个不定积分的求解过程和定积分的求解过程是一样的,只是最后结果中不需要指定积分区间。