limx→1 (lnx/f(x))=1推出f(x)

时间: 2023-03-20 13:03:15 浏览: 107
根据题意,可以使用洛必达法则来求解。先对lnx/f(x)取自然对数,得到ln(lnx) - ln(f(x)),则原式变为 limx→1(ln(lnx) - ln(f(x))) / (1 - x)。 对该式使用洛必达法则,即对分子和分母分别求导: limx→1(ln(lnx) - ln(f(x)))' / (1 - x)' = limx→1(1/lnx * 1/x - f'(x)/f(x)) / (-1) = limx→1(-1/lnx - f'(x)/f(x) * x) = -1 因为limx→1(lnx/f(x))=1,所以有: limx→1 lnf(x) = ln x 两边同时取指数,得到: f(x) = e^lnf(x) = e^lnx = x 因此,f(x) = x。
相关问题

limx→1(lnx/f(x))=1

### 回答1: 根据洛必达法则,可以对该式进行求导: limx→1(lnx/f(x))=1 => limx→1[(lnx)'/(f(x))'] = 1 由于(lnx)'=1/x,因此: limx→1[(lnx)'/(f(x))'] = limx→1[1/(xf(x))]/[f'(x)/f(x)^2] = limx→1[f(x)/x]/[f'(x)/f(x)^2] = limx→1[f(x)/x]·[f(x)^2/f'(x)] = limx→1[f(x)^3/xf'(x)] 如果limx→1[f(x)^3/xf'(x)]存在有限值,那么原式等于1。因此,我们需要对f(x)进行进一步的求导。对f(x)求导,有: (f(x)^3)' = 3f(x)^2f'(x) (xf'(x))' = f'(x) + xf''(x) 因此,limx→1[f(x)^3/xf'(x)] = limx→1[3f(x)^2f'(x)]/[f'(x) + xf''(x)] 如果limx→1[3f(x)^2f'(x)]存在有限值,那么原式等于1。由于无法确定limx→1[f'(x) + xf''(x)]的值,因此不能确定limx→1(lnx/f(x))的值是否等于1。 ### 回答2: 要回答这个问题,我们首先需要了解一些基本知识。 limx→1表示当x趋近于1时的极限。lnx表示以e为底的自然对数函数。f(x)表示一个关于x的函数。 根据题目给出的条件,我们可以得到limx→1(lnx/f(x)) = 1。这意味着当x趋近于1时,lnx/f(x)的极限是1。 从数学的角度来看,我们可以将这个极限问题分成两部分来考虑。 首先,当x趋近于1时,lnx的极限是0。这是因为lnx在x=1处是收敛的,且它在这一点的函数值为0。 其次,当x趋近于1时,f(x)也需要满足一定的条件才能使得lnx/f(x)的极限为1。具体来说,f(x)需要满足limx→1(f(x)) = 1。这意味着当x趋近于1时,f(x)的极限值是1。 综上所述,要使limx→1(lnx/f(x)) = 1成立,我们需要满足两个条件:lnx的极限为0,f(x)的极限为1。只有当这两个条件同时满足时,lnx/f(x)的极限才会等于1。 ### 回答3: 题目要求我们用中文回答limx→1(lnx/f(x))=1。 根据极限的定义,当limx→1(lnx/f(x))=1时,意味着当x无限接近1时,函数lnx/f(x)的极限等于1。换言之,要求找到一个函数f(x),使得当x无限接近1时,lnx/f(x)的极限等于1。 首先,我们可以观察到当x无限接近1时,lnx的极限等于ln(1)=0。根据极限的性质,我们知道任何常数除以0的结果都是无穷大。因此,我们可以推断出,当x无限接近1时,f(x)的极限必须等于无穷大。 综上所述,我们可以得出一个函数f(x),使得limx→1(lnx/f(x))=1,即当x无限接近1时,lnx/f(x)的极限等于1。该函数为f(x)=1/(x-1)。当x无限接近1时,f(x)的极限确实等于无穷大,此时lnx/f(x)的极限等于lnx/(1/(x-1))=ln(x-1)=ln(0)=-∞。因此,limx→1(lnx/f(x))=1成立。 注意:在这个问题中,我们假设了f(x)满足某些条件,而且没有考虑f(x)在其他点的取值情况。如果题目有更多的限制或要求,可能会需要进一步的讨论和推导。

证明:当x趋近于0正时,limx*[1/x]=1

首先,当x趋近于0正时,[1/x]表示不大于1/x的最大整数,即[1/x]<=1/x。因此,有: 0<1/x-[1/x]<=1/x 将上式两边同乘以x,则有: 0<1-[x*[1/x]]<=1/x 因此,当x趋近于0正时,有: limx→0+ [x*[1/x]]=1 即证明了当x趋近于0正时,limx*[1/x]=1。

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