limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)在x=1的值

首先，我们将极限式子中的x替换为u+1，得到limu→-1(f(u)/ln(u))=1，因为f(x-1)与f(u)的值相同，所以我们将u替换为x-1，得到limx→1(f(x-1)/ln(x-2))=1。因为极限式子的值为1，所以当x趋近于1时，分子f(x-1)也会趋近于ln(x-2)。因此，我们可以使用洛必达法则求出f(x-1)在x=1的极限值。

将极限式子两边取自然对数，得到ln(limx→1(f(x-1)/ln(x-2)))=0，然后将分子f(x-1)对自然对数求导，得到limx→1(f'(x-1)/(x-2))。因为分母趋近于-1，所以我们可以得到f'(0)=-1，即f(x-1)在x=1的导数等于-1。

因此，我们可以使用泰勒公式将f(x-1)在x=1附近展开，得到f(x-1)=f(0)+(x-1)f'(0)+(x-1)²/2!f''(0)+...。因为f(x-1)在x=1处的导数等于-1，所以f'(0)=-1，f''(0)存在，所以f(x-1)在x=1处的值为f(0)+0+0+...=f(0)。

因此，我们得出结论，当limx→0(f(x-1)/ln(x-1))=1时，f(x-1)在x=1的值为f(0)。

相关问题

limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)

### 回答1：
根据题目中给出的条件，当x趋近于0时，limx→0(f(x-1)/ln(x-1))=1。因为分子分母的极限都存在，所以可以使用洛必达法则进行求解。具体来说，可以将f(x-1)表示为ln(x-1)乘以limx→0(f(x-1)/ln(x-1))，即f(x-1)=ln(x-1)。因此，根据这个推导，我们可以得到f(x-1)=ln(x-1)。

### 回答2：
题目给出了函数极限的条件，即$\lim_{x\to 0} \frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}=1$，我们需要推导出$f(x-1)$的表达式。

由于函数极限的定义，对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在一个 $\delta>0$，对于所有满足$0<|x-0|<\delta$的$x$，都有
$\left|\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}-1\right|<\varepsilon$。也就是说，当$x$趋近于$0$时，$f(x-1)$也要趋近于$\ln(x-1)$。

首先，考虑$x-1$趋近于$0$的情况，即$x$趋近于$1$时，我们可以得到$\lim_{x\to 1} f(x-1) = \ln(1-1) = \ln(0)$。根据极限的性质，当一个函数趋近于无穷时，它的极限不存在。因此，我们无法得知$f(x-1)$在$x=1$处的取值。

接下来，我们看当$x-1$趋近于$0$时，函数$f(x-1)$的行为。我们可以将$x-1$记作$h$，则$x$可以表示为$h+1$，并且当$h$趋近于$0$时，$x$趋近于$1$。那么我们有
$$\lim_{h\to 0} f(h) = \lim_{x\to 1} f(x-1) = \ln(0)$$
这意味着在$x=1$的邻域内，函数$f(x-1)$的极限趋近于$\ln(0)$。

由于$\ln(0)$是不存在的，我们无法确定$f(x-1)$在$x=1$处的取值。因此，根据已给的条件$\lim_{x\to 0} \frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}=1$，我们无法推出$f(x-1)$的表达式。

综上所述，在已给条件下，无法确定函数$f(x-1)$的具体表达式。

### 回答3：
根据题目中的条件 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1，我们需要推出f(x-1)的表达式。

首先，我们可以进行一些代数性质的运算，以便将给定条件转化为我们需要的形式。

首先，我们可以将 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1 进行等价变形：

limx→0 f(x-1) = limx→0 ln(x-1)

然后，我们在查阅自然对数函数的定义域时，可以发现ln(x-1)的定义域为x>1，因此我们需要将limx→0的条件转化为x>1的条件。这时，我们可以进行变量替换。

令t = x-1，当x趋近于0时，t也趋近于-1。因此，我们可以将limx→0的条件转化为limt→-1的条件。

将x = t+1代入上面的等式中，得到：

limt→-1 f(t) = limt→-1 ln(t)

现在，我们可以看到右侧的等式与题目中的条件相同。因此，我们可以得出结论：

f(x-1) = ln(x-1)

这就是根据 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1 推出的f(x-1)的表达式。

需要注意的是，这个推导过程中，我们使用了一些代数运算和变量替换来得到等价的表达式。这种推导方法仅适用于满足题目中给定条件的情况下。

limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)在想x=1的值

### 回答1：

根据给定的极限式，可以得到：

limx→0(f(x-1)/ln(x-1)) = 1

因此，当x趋近于1时，f(x-1)与ln(x-1)的比值趋近于1。

根据极限的定义，我们可以得到：

limx→1(f(x-1)-f(0))/(x-1) = L

其中L为常数。

因此，当x趋近于1时，f(x-1)与f(0)的差值与x-1的比值趋近于L。

由此可以推导出：

limx→1(f(x-1)-f(0))/(ln(x-1)) = L

因此，f(x-1)在x=1时的值为f(0)。

### 回答2：
根据题目中的条件，我们知道当$x \to 0$时，$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}\right) = 1$。要求出$f(x-1)$在$x=1$处的值，我们可以采用以下方法来计算。

首先，将$x$替换为$x-1$，得到$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(1-x)}{\ln(1-x-1)}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{f(1-x)}{\ln(-x)}\right)$。

我们知道，在$x \to 0$的过程中，$\ln(-x)$的值趋向于$-\infty$。由于$f(1-x)$与$\ln(-x)$的比值趋向于1，我们可以推断出$f(1-x)$在$x=1$的值为$-\infty$。

因此，根据题目中的条件，当$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}\right) = 1$时，可以推出$f(1)$的值为$-\infty$。

### 回答3：
题目中给出了一个极限的条件：当x趋近于0时，limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1。我们需要根据这个条件来推导f(x-1)在x=1时的值。

首先，根据极限的定义，我们可以得到一个重要的结论：limx→a (g(x))=L，则对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|g(x)-L|<ε。

回到题目中，根据已知条件limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1，我们可以将其转化为：对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，有|f(x-1)/ln(x-1)-1|<ε。

接下来，我们将证明f(x-1)在x=1的值存在且唯一。

假设limx→1 (f(x-1)/ln(x-1))存在，且等于L。则根据极限的定义，对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<|x-1|<δ时，有|f(x-1)/ln(x-1)-L|<ε。

由于limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1，我们可以选择ε=1/2。根据上述性质，存在一个正数δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，有|f(x-1)/ln(x-1)-1|<1/2。

同时，存在一个正数δ'>0，使得当0<|x-1|<δ'时，有|f(x-1)/ln(x-1)-L|<1/2。

取一个小的正数ε'，使得ε'>0且ε'<min(δ,δ')。那么当0<|x-1|<ε'时，根据三角不等式，有：

|1 - L| = |(f(x-1)/ln(x-1) - L) + (f(x-1)/ln(x-1) - 1)| ≤ |f(x-1)/ln(x-1) - L| + |f(x-1)/ln(x-1) - 1| < 1/2 + 1/2 = 1。

根据上述不等式，我们可以得出结论：存在一个小的正数ε'，使得当0<|x-1|<ε'时，有|1-L|<1，即L的取值范围必然在(0,2)之间。

综上所述，由给定的条件limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1，我们推出了f(x-1)在x=1处的值存在且唯一，且其取值范围在(0,2)之间。