limx趋于无限(1-1/x)的3x+ 5次方=e的a次方,那么a=
时间: 2024-05-29 22:11:42 浏览: 9
首先,根据指数函数的性质,我们有:$e^{\ln b}=b$,其中$b>0$。
因此,题目中的等式可以变形为:
$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5=e^a
$$
接下来,我们考虑对等式两边取自然对数:
$$
\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5\right]=\ln 5+\ln \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}
$$
对于右边的极限,我们可以将其写成指数形式,即:
$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}3x\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}
$$
注意到当$x$趋向无穷大时,$\frac{1}{x}$趋向于$0$,因此我们可以使用泰勒展开公式:
$$
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots
$$
将$x$替换成$\frac{1}{x}$,得到:
$$
\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\cdots
$$
因此,
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to\infty}3x\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)&=\lim_{x\to\infty}3x\cdot\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\cdots\right)\\
&=-3-\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2x}+\cdots\\
&=-3
\end{aligned}
$$
于是,
$$
\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5\right]=\ln 5+\ln e^{-3}=-3+\ln 5
$$
因此,
$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5=e^{-3+\ln 5}=5e^{-3}
$$
故$a=-3+\ln 5$。
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