设limX(n)=X,则limE|X(n)|^2=E|X(n)|^2是否一定成立

根据Chebyshev不等式，有lim E|X(n)|^2 <= lim E[X(n)^2] = E[X^2]，因此lim E|X(n)|^2 <= E[X^2]，同时，由于|X(n)|^2一定是非负的，因此有lim E|X(n)|^2 >= E[lim |X(n)|^2]，又因为limX(n)=X，因此lim E|X(n)|^2 >= E[|X|^2]，综上所述，当limX(n)=X时，有lim E|X(n)|^2=E|X|^2成立。

相关问题

limx趋于无限(1-1/x)的3x+ 5次方=e的a次方,那么a=

首先，根据指数函数的性质，我们有：$e^{\ln b}=b$，其中$b>0$。

因此，题目中的等式可以变形为：

$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5=e^a
$$

接下来，我们考虑对等式两边取自然对数：

$$
\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5\right]=\ln 5+\ln \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}
$$

对于右边的极限，我们可以将其写成指数形式，即：

$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}3x\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}
$$

注意到当$x$趋向无穷大时，$\frac{1}{x}$趋向于$0$，因此我们可以使用泰勒展开公式：

$$
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots
$$

将$x$替换成$\frac{1}{x}$，得到：

$$
\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\cdots
$$

因此，

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to\infty}3x\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)&=\lim_{x\to\infty}3x\cdot\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\cdots\right)\\
&=-3-\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2x}+\cdots\\
&=-3
\end{aligned}
$$

于是，

$$
\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5\right]=\ln 5+\ln e^{-3}=-3+\ln 5
$$

因此，

$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5=e^{-3+\ln 5}=5e^{-3}
$$

故$a=-3+\ln 5$。

limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)在x=1的值

首先，我们将极限式子中的x替换为u+1，得到limu→-1(f(u)/ln(u))=1，因为f(x-1)与f(u)的值相同，所以我们将u替换为x-1，得到limx→1(f(x-1)/ln(x-2))=1。因为极限式子的值为1，所以当x趋近于1时，分子f(x-1)也会趋近于ln(x-2)。因此，我们可以使用洛必达法则求出f(x-1)在x=1的极限值。

将极限式子两边取自然对数，得到ln(limx→1(f(x-1)/ln(x-2)))=0，然后将分子f(x-1)对自然对数求导，得到limx→1(f'(x-1)/(x-2))。因为分母趋近于-1，所以我们可以得到f'(0)=-1，即f(x-1)在x=1的导数等于-1。

因此，我们可以使用泰勒公式将f(x-1)在x=1附近展开，得到f(x-1)=f(0)+(x-1)f'(0)+(x-1)²/2!f''(0)+...。因为f(x-1)在x=1处的导数等于-1，所以f'(0)=-1，f''(0)存在，所以f(x-1)在x=1处的值为f(0)+0+0+...=f(0)。

因此，我们得出结论，当limx→0(f(x-1)/ln(x-1))=1时，f(x-1)在x=1的值为f(0)。