设limX(n)=X,则limE|X(n)|^2=E|X(n)|^2是否一定成立

根据Chebyshev不等式，有lim E|X(n)|^2 <= lim E[X(n)^2] = E[X^2]，因此lim E|X(n)|^2 <= E[X^2]，同时，由于|X(n)|^2一定是非负的，因此有lim E|X(n)|^2 >= E[lim |X(n)|^2]，又因为limX(n)=X，因此lim E|X(n)|^2 >= E[|X|^2]，综上所述，当limX(n)=X时，有lim E|X(n)|^2=E|X|^2成立。

相关问题

limx→1(lnx/f(x))=1

### 回答1：

根据洛必达法则，可以对该式进行求导：

limx→1(lnx/f(x))=1
=> limx→1[(lnx)'/(f(x))'] = 1

由于(lnx)'=1/x，因此：

limx→1[(lnx)'/(f(x))']
= limx→1[1/(xf(x))]/[f'(x)/f(x)^2]
= limx→1[f(x)/x]/[f'(x)/f(x)^2]
= limx→1[f(x)/x]·[f(x)^2/f'(x)]
= limx→1[f(x)^3/xf'(x)]

如果limx→1[f(x)^3/xf'(x)]存在有限值，那么原式等于1。因此，我们需要对f(x)进行进一步的求导。对f(x)求导，有：

(f(x)^3)' = 3f(x)^2f'(x)
(xf'(x))' = f'(x) + xf''(x)

因此，limx→1[f(x)^3/xf'(x)]
= limx→1[3f(x)^2f'(x)]/[f'(x) + xf''(x)]

如果limx→1[3f(x)^2f'(x)]存在有限值，那么原式等于1。由于无法确定limx→1[f'(x) + xf''(x)]的值，因此不能确定limx→1(lnx/f(x))的值是否等于1。

### 回答2：
要回答这个问题，我们首先需要了解一些基本知识。

limx→1表示当x趋近于1时的极限。lnx表示以e为底的自然对数函数。f(x)表示一个关于x的函数。

根据题目给出的条件，我们可以得到limx→1(lnx/f(x)) = 1。这意味着当x趋近于1时，lnx/f(x)的极限是1。

从数学的角度来看，我们可以将这个极限问题分成两部分来考虑。

首先，当x趋近于1时，lnx的极限是0。这是因为lnx在x=1处是收敛的，且它在这一点的函数值为0。

其次，当x趋近于1时，f(x)也需要满足一定的条件才能使得lnx/f(x)的极限为1。具体来说，f(x)需要满足limx→1(f(x)) = 1。这意味着当x趋近于1时，f(x)的极限值是1。

综上所述，要使limx→1(lnx/f(x)) = 1成立，我们需要满足两个条件：lnx的极限为0，f(x)的极限为1。只有当这两个条件同时满足时，lnx/f(x)的极限才会等于1。

### 回答3：
题目要求我们用中文回答limx→1(lnx/f(x))=1。

根据极限的定义，当limx→1(lnx/f(x))=1时，意味着当x无限接近1时，函数lnx/f(x)的极限等于1。换言之，要求找到一个函数f(x)，使得当x无限接近1时，lnx/f(x)的极限等于1。

首先，我们可以观察到当x无限接近1时，lnx的极限等于ln(1)=0。根据极限的性质，我们知道任何常数除以0的结果都是无穷大。因此，我们可以推断出，当x无限接近1时，f(x)的极限必须等于无穷大。

综上所述，我们可以得出一个函数f(x)，使得limx→1(lnx/f(x))=1，即当x无限接近1时，lnx/f(x)的极限等于1。该函数为f(x)=1/(x-1)。当x无限接近1时，f(x)的极限确实等于无穷大，此时lnx/f(x)的极限等于lnx/(1/(x-1))=ln(x-1)=ln(0)=-∞。因此，limx→1(lnx/f(x))=1成立。

注意：在这个问题中，我们假设了f(x)满足某些条件，而且没有考虑f(x)在其他点的取值情况。如果题目有更多的限制或要求，可能会需要进一步的讨论和推导。

limx→1 (lnx/f(x))=1推出f(x)

根据题意，可以使用洛必达法则来求解。先对lnx/f(x)取自然对数，得到ln(lnx) - ln(f(x))，则原式变为 limx→1(ln(lnx) - ln(f(x))) / (1 - x)。

对该式使用洛必达法则，即对分子和分母分别求导：

limx→1(ln(lnx) - ln(f(x)))' / (1 - x)'
= limx→1(1/lnx * 1/x - f'(x)/f(x)) / (-1)
= limx→1(-1/lnx - f'(x)/f(x) * x)
= -1

因为limx→1(lnx/f(x))=1，所以有：

limx→1 lnf(x) = ln x

两边同时取指数，得到：

f(x) = e^lnf(x) = e^lnx = x

因此，f(x) = x。