已知某因果稳定系统的差分方程 y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1) 求激励x1(n)=10*ε(n)的稳态输出响应y1(n)
时间: 2023-12-25 18:03:45 浏览: 41
根据差分方程可得:
y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1)
将激励x1(n)=10*ε(n)代入,则有:
y1(n)-0.75*y1(n-1)+0.125*y1(n-2)=4*10*ε(n)+3*10*ε(n-1)
化简可得:
y1(n)-0.75*y1(n-1)+0.125*y1(n-2)=70*ε(n)+30*ε(n-1)
由于该系统是因果稳定系统,所以其具有零状态响应的稳态解。因此,我们只需要考虑激励引起的零状态响应即可。
将输入信号ε(n)看作是一个随机序列,则其具有等功率性质。因此,我们可以假设ε(n)是一个符合标准正态分布的随机序列,即均值为0,方差为1。
根据该假设,我们可以求得稳态输出响应y1(n)的均值和方差:
E(y1(n)) = 70*E(ε(n))+30*E(ε(n-1)) = 0
Var(y1(n)) = 70^2*Var(ε(n))+30^2*Var(ε(n-1)) = 4900
因此,稳态输出响应y1(n)的均值为0,方差为4900,即:
y1(n) ~ N(0, 4900)
其中,N(0, 4900)表示均值为0,方差为4900的正态分布。
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已知某因果稳定系统的差分方程 y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1) 求激励x(n)=10*ε(n)的稳态输出响应y(n)
根据差分方程可得:
y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1)
将激励x(n)=10*ε(n)代入,则有:
y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=40*ε(n)+30*ε(n-1)
为了求解稳态输出响应y(n),我们需要先求解该系统的传递函数。对差分方程进行z变换,可得:
Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 4X(z)+3z^-1*X(z)
将X(z)替换为10*ε(z),可得:
Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 40ε(z)+30z^-1*ε(z)
进一步整理可得:
Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.75z^-1+0.125z^-2) * ε(z)
将传递函数表示成极点-零点形式,可得:
Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(z)
该系统的极点为z=0.5和z=0.25,均在单位圆内,因此该系统是稳定的。
根据稳态输出响应的定义,我们可以将输入信号看作是一个随机序列,求解其稳态均值和方差。由于输入信号是符合标准正态分布的随机序列,因此其均值为0,方差为1。
根据传递函数可以得到稳态输出响应的均值和方差:
E(y(n)) = E((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 0
Var(y(n)) = Var((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 4900
因此,稳态输出响应y(n)的均值为0,方差为4900,即:
y(n) ~ N(0, 4900)
其中,N(0, 4900)表示均值为0,方差为4900的正态分布。
求解差分方程:y[n]+2y[n-1]=n-2.已知y[0]=1
我们可以使用递推的方法求解这个差分方程。将 n=0,1,2,3,... 代入差分方程中,得到:
n=0:y[0] + 2y[-1] = -2 ,即 y[-1] = -3/2
n=1:y[1] + 2y[0] = -1 ,即 y[1] = -3/2
n=2:y[2] + 2y[1] = 0 ,即 y[2] = 3/4
n=3:y[3] + 2y[2] = 3 ,即 y[3] = 3/8
可以发现,y[n] 的求解可以表示为 y[n] = (-2y[n-1] + n - 2)/1,其中 y[0] 已知为1。将这个递推式代入前面的计算结果中,可以得到:
y[0] = 1
y[1] = -3/2
y[2] = 3/4
y[3] = 3/8
y[4] = -1/16
y[5] = -1/32
...
因此,差分方程的通解为 y[n] = (-2y[n-1] + n - 2)/1,其中 y[0] = 1。
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