\begin{equation} \int_0^{\sqrt{3} a} \frac{d x}{d^2+x^2} \end{equation}

这个积分的表达式是：

\begin{equation} \int_0{\sqrt{3} a} \frac{d x}{d^2 x^2} \end{equation}

请注意，被积函数中的 $d^2 x^2$ 表示二阶导数，而不是一个分式。

要求解这个积分，我们需要找到被积函数的原函数。我们可以使用分部积分法来解决这个问题。我们令 $u = \frac{1}{d x}$，$dv = \frac{\sqrt{3} a}{d^2 x^2} dx$，则有：

$$
du = -\frac{1}{d x^2} dx, \quad v = -\frac{\sqrt{3} a}{d x}
$$

根据分部积分公式，我们有：

$$
\int_0^{\sqrt{3} a} \frac{\sqrt{3} a}{d^2 x^2} dx = \left[ -\frac{\sqrt{3} a}{d x} \cdot \frac{1}{d x} \right]_0^{\sqrt{3} a} + \int_0^{\sqrt{3} a} \frac{1}{d x} \cdot \frac{1}{d x^2} dx
$$

第一项可以写为：

$$
\left[ -\frac{\sqrt{3} a}{d x} \cdot \frac{1}{d x} \right]_0^{\sqrt{3} a} = \left[ -\frac{\sqrt{3} a}{(d x)^2} \right]_0^{\sqrt{3} a} = -\frac{\sqrt{3} a}{(d (\sqrt{3} a))^2} + \frac{\sqrt{3} a}{(d 0)^2} = \frac{\sqrt{3}}{a}
$$

第二项可以通过再次应用分部积分法得到：

$$
\int_0^{\sqrt{3} a} \frac{1}{d x} \cdot \frac{1}{d x^2} dx = \left[ \frac{1}{d x} \cdot \frac{1}{d x} \right]_0^{\sqrt{3} a} - \int_0^{\sqrt{3} a} \frac{1}{d x^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{d x} \right) dx
$$

由于 $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{d x} \right) = -\frac{1}{(d x)^2}$，因此我们有：

$$
\int_0^{\sqrt{3} a} \frac{1}{d x} \cdot \frac{1}{d x^2} dx = \left[ \frac{1}{d x} \cdot \frac{1}{d x} \right]_0^{\sqrt{3} a} + \int_0^{\sqrt{3} a} \frac{1}{d x^2} \cdot \frac{1}{(d x)^2} dx
$$

第一项可以写为：

$$
\left[ \frac{1}{d x} \cdot \frac{1