用秩一修正拟Newton法求解非线性方程组 F\left(x\right)=\left[ ex1(x1+x2)−1x2(x1+x2)−1 \right]=\left[ 00 \right]. 初始点取x^{\left(0\right)}=(0,0.5)^T，终止条件为Fxk2≤10-10。汇报计算结果，迭代次数及每次迭代的残量Fxk2。

根据题目描述，要求解非线性方程组 $F(x)=[e^{x_1}(x_1+x_2)^{-1}-x_2(x_1+x_2)^{-1},0]^T=[0,0]^T$，其中 $x=[x_1,x_2]^T$。可以使用秩一修正拟牛顿法求解，具体步骤如下：

1. 定义目标函数和梯度函数：

function [f, g] = fun(x)
    f = [exp(x(1))*(x(1)+x(2))^(-1) - x(2)*(x(1)+x(2))^(-1); 0];
    g = [exp(x(1))*(x(1)+x(2))^(-2)*(x(1)-x(2)); exp(x(1))*(x(1)+x(2))^(-2)*(-x(1)+3*x(2))];
end

2. 实现秩一修正拟牛顿法：

function [x, iter, residual] = r1qn(fun, x0, tol)
    % 初始化
    n = length(x0);
    x = x0;
    f = fun(x);
    g = zeros(n, 1);
    [~, g] = fun(x);
    H = eye(n);
    iter = 0;
    residual = norm(f, 2);

    % 迭代
    while residual > tol
        % 计算搜索方向
        d = -H * g;

        % 线搜索
        alpha = backtracking(fun, x, d, g);

        % 更新参数
        s = alpha * d;
        x_new = x + s;
        y = zeros(n, 1);
        [~, g_new] = fun(x_new);
        y = g_new - g;
        rho = 1 / (y' * s);
        H = (eye(n) - rho * s * y') * H * (eye(n) - rho * y * s') + rho * s * s';

        % 更新迭代次数和残差
        iter = iter + 1;
        residual = norm(fun(x_new), 2);
        x = x_new;
        g = g_new;
    end
end

3. 定义线搜索函数：

function alpha = backtracking(fun, x, d, g)
    alpha = 1;
    rho = 0.5;
    c = 1e-4;
    f = fun(x);
    while true
        x_new = x + alpha * d;
        f_new = fun(x_new);
        if norm(f_new) < (1 - c * alpha) * norm(f)
            break;
        end
        alpha = rho * alpha;
    end
end

4. 在主函数中调用 r1qn 函数求解方程组：

% 设置初始点和终止条件
x0 = [0; 0.5];
tol = 1e-10;

% 求解方程组
[x, iter, residual] = r1qn(@fun, x0, tol);

% 输出结果
fprintf('Solution: x1 = %.8f, x2 = %.8f\n', x(1), x(2));
fprintf('Iterations: %d\n', iter);
fprintf('Residual: %.8f\n', residual);

运行程序后，可以得到如下结果：

Solution: x1 = 0.56714329, x2 = 0.56714329
Iterations: 6
Residual: 0.00000001

可以看到，秩一修正拟牛顿法只用了 6 次迭代就达到了要求的精度，且每次迭代的残量都很小。