非线性规划题目以及解题过程

以下是一个非线性规划的例题及其解题过程：

题目：求解函数 $f(x,y)=x^2+2y^2-2x+6y$ 的最小值，其中 $x,y$ 满足约束条件 $x^2+y^2\leq 1$。

解题过程：

1.首先，根据题目所给的函数 $f(x,y)$，我们可以列出目标函数：

$$f(x,y)=x^2+2y^2-2x+6y$$

我们的目标是求出该函数的最小值。

2.其次，根据题目所给的约束条件 $x^2+y^2\leq 1$，我们可以将其转化为：

$$g(x,y)=x^2+y^2-1\leq 0$$

即 $g(x,y)$ 表示不等式约束条件。

3.由于这是一个非线性规划问题，我们可以使用 Lagrange 乘子法来求解。首先，我们将目标函数和约束条件写成如下形式：

$$L(x,y,\lambda)=x^2+2y^2-2x+6y+\lambda(x^2+y^2-1)$$

其中，$\lambda$ 是 Lagrange 乘子。

4.我们需要分别对 $x,y,\lambda$ 求偏导数，并令其等于 0，得到如下方程组：

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=2x-2\lambda x=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=4y+6\lambda y=0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-1=0 \end{cases}$$

解得：

$$\begin{cases} x=\frac{2}{\sqrt{13}} \\ y=\frac{3}{\sqrt{13}} \\ \lambda=\frac{2}{\sqrt{13}} \end{cases}$$

5.最后，将 $x,y,\lambda$ 的解代入目标函数 $f(x,y)$ 中，即可求得函数的最小值：

$$f(x,y)=x^2+2y^2-2x+6y=-\frac{7}{\sqrt{13}}$$

因此，当 $x=\frac{2}{\sqrt{13}},y=\frac{3}{\sqrt{13}}$ 时，函数 $f(x,y)$ 达到最小值 $-\frac{7}{\sqrt{13}}$。