、证明无穷维空间关于按坐标分量收敛与按弱收敛之间的关系。

设 $X$ 是一个无穷维赋范空间，$(x_n)$ 是 $X$ 中的一个序列。我们考虑按坐标分量收敛和按弱收敛之间的关系。

如果 $(x_n)$ 按坐标分量收敛于 $x\in X$，则对于任意的 $i$，$(x_n^{(i)})$ 收敛于 $x^{(i)}$。这意味着对于任意的线性有界函数 $f\in X^*$，我们有 $f(x_n)\to f(x)$。因此，$(x_n)$ 按弱收敛于 $x$。

反之，如果 $(x_n)$ 按弱收敛于 $x\in X$，则对于任意的线性有界函数 $f\in X^*$，我们有 $f(x_n)\to f(x)$。特别地，对于任意的 $i$，我们可以取 $f$ 为第 $i$ 个坐标函数 $e_i$，得到 $x_n^{(i)}=e_i(x_n)\to e_i(x)=x^{(i)}$。因此，$(x_n)$ 按坐标分量收敛于 $x$。

综上所述，无穷维空间中按坐标分量收敛与按弱收敛是等价的。