9．设A是集合，R⊆AxA。证明：则R是反对称的当且仅当 R∩R-1⊆A。

要证明的命题是：“R是反对称的当且仅当 R∩R-1⊆A。”

首先，假设R是反对称的。那么对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，那么a=b。也就是说，R∩R-1={(a,b)∈A×A | (a,b)∈R 且 (b,a)∈R}的元素一定是形如(a,a)的元素。因此，R∩R-1的所有元素都属于A。所以，R∩R-1⊆A。

接下来，假设R∩R-1⊆A。要证明R是反对称的，需要证明对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，那么a=b。

假设(a,b)∈R且(b,a)∈R。那么(a,b)∈R∩R-1，即(b,a)∈R-1。由于R∩R-1⊆A，所以(b,a)∈A。又因为(a,b)∈R，所以(a,b)∈A。因此，a=b，证毕。

综上所述，R是反对称的当且仅当 R∩R-1⊆A。

相关问题

git ls-remote -h -- git@src.ift.run:system/demo-codes.git HEAD The authenticity of host 'src.ift.run (10.31.11.218)' can't be established. ED25519 key fingerprint is SHA256:Axa9FO9mQT23NnOJABVMo9e5Wa3glS49zQG6va37LXY. This key is not known by any other names 请看看这个报错的原因，公钥已经添加到git里面了。

这个报错是因为你连接的主机在你的 known_hosts 文件中没有相应的条目，导致无法验证主机的真实性。要解决这个问题，你可以尝试以下几个方法：

1. 手动添加主机到 known_hosts 文件：你可以使用 ssh-keyscan 命令来获取主机的公钥，并将其添加到 known_hosts 文件中。例如，运行以下命令获取主机的公钥并将其添加到 known_hosts 文件中：

   ssh-keyscan -t ed25519 src.ift.run >> ~/.ssh/known_hosts

然后再次运行 git ls-remote 命令看看是否仍然报错。

2. 检查公钥是否正确添加到 git 服务器：确保你的公钥已正确添加到 git 服务器。你可以通过访问 git 服务器的网页界面或联系管理员来确认公钥是否已正确添加。

3. 检查网络连接和防火墙设置：确保你的网络连接正常，并且没有任何防火墙或代理设置阻止了你与 git 服务器的通信。

如果以上方法都没有解决问题，可能是其他配置或权限问题导致的。建议你提供更多详细的错误信息或尝试与 git 服务器管理员联系以获取更多帮助。

给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定义两种关系：R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}, S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，则R*S=

首先，我们需要明确关系的定义：一个关系R是集合A上的二元关系，它是AxA的一个子集，即R⊆A×A。同样地，关系S也是集合A上的二元关系，它是AxA的一个子集，即S⊆A×A。

然后，我们来看关系的复合。关系R*S的定义为：

R*S={(a,c)|存在b∈A，使得(a,b)∈R且(b,c)∈S}

根据这个定义，我们可以先计算出R*S的所有可能元素：

- (1,2)：由于R中有(1,2)，而S中有(2,5)，所以(1,5)∈R*S。
- (1,5)：由于R中有(1,2)，而S中没有(2,1)，所以(1,1)∉R*S。
- (2,2)：由于R中有(2,2)，而S中没有(2,2)，所以(2,2)∉R*S。
- (2,5)：由于R中有(2,2)，而S中有(2,5)，所以(2,5)∈R*S。
- (3,1)：由于R中没有(3,1)，而S中有(3,1)，所以(3,1)∉R*S。
- (3,3)：由于R中没有(3,1)，而S中没有(1,3)，所以(3,3)∉R*S。
- (3,4)：由于R中有(3,4)，而S中没有(4,3)，所以(3,3)∉R*S。
- (3,5)：由于R中没有(3,1)，而S中有(1,5)，所以(3,5)∉R*S。
- (4,1)：由于R中没有(4,1)，而S中没有(1,4)，所以(4,1)∉R*S。
- (4,3)：由于R中没有(4,1)，而S中有(1,3)，所以(4,3)∉R*S。
- (4,4)：由于R中没有(4,1)，而S中有(1,4)，所以(4,4)∉R*S。
- (4,5)：由于R中没有(4,1)，而S中没有(1,5)，所以(4,5)∉R*S。
- (5,2)：由于R中没有(5,2)，而S中没有(2,5)，所以(5,2)∉R*S。
- (5,5)：由于R中没有(5,2)，而S中有(2,5)，所以(5,5)∉R*S。

综上所述，R*S={(1,5),(2,5)}。