．设A是集合，R⊆AxA。证明：则R是反对称的当且仅当 R∩R-1⊆IA。

首先证明必要性，即如果R是反对称的，则R∩R^-1⊆IA。

假设R是反对称的，即对于任意的a,b∈A，当aRb且bRa时，必有a=b。那么对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R∩R^-1，即aRb且bRa，那么a=b，所以(a,b)∈IA。因此R∩R^-1⊆IA。

接下来证明充分性，即如果R∩R^-1⊆IA，则R是反对称的。

假设R∩R^-1⊆IA，即对于任意的a,b∈A，当(a,b)∈R∩R^-1时，必有a=b。那么对于任意的a,b∈A，若aRb且bRa，即(a,b)∈R且(b,a)∈R^-1，那么(a,b)∈R∩R^-1，所以a=b。因此R是反对称的。

综上所述，R是反对称的当且仅当R∩R^-1⊆IA。

相关问题

9．设A是集合，R⊆AxA。证明：则R是反对称的当且仅当 R∩R-1⊆A。

要证明的命题是：“R是反对称的当且仅当 R∩R-1⊆A。”

首先，假设R是反对称的。那么对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，那么a=b。也就是说，R∩R-1={(a,b)∈A×A | (a,b)∈R 且 (b,a)∈R}的元素一定是形如(a,a)的元素。因此，R∩R-1的所有元素都属于A。所以，R∩R-1⊆A。

接下来，假设R∩R-1⊆A。要证明R是反对称的，需要证明对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，那么a=b。

假设(a,b)∈R且(b,a)∈R。那么(a,b)∈R∩R-1，即(b,a)∈R-1。由于R∩R-1⊆A，所以(b,a)∈A。又因为(a,b)∈R，所以(a,b)∈A。因此，a=b，证毕。

综上所述，R是反对称的当且仅当 R∩R-1⊆A。

设A={1，2，3，4，5},R⊆AxA,R={(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(4,3),(5,5)},用作图方法求r(R),s(R),t(R),用矩阵运算的方法求r(R)。

我可以回答这个问题。根据题目中给出的关系R，我们可以画出如下的图：

r(R)表示R的逆关系，即将R中的元素的顺序颠倒，得到{(2,1),(3,2),(5,2),(4,3),(3,4),(5,5)}，用图表示为：

s(R)表示R的自反闭包，即在R的基础上加上所有元素与自身的关系，得到{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(4,3),(5,5)}，用图表示为：

t(R)表示R的传递闭包，即在R的基础上加上所有可以通过R中的元素到达的元素之间的关系，得到{(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(4,3),(5,5),(1,3),(1,4),(1,5),(2,4)}，用图表示为：

用矩阵运算的方法求r(R)时，我们可以将R表示为一个矩阵，其中第i行第j列的元素为1表示(i,j)属于R，否则为0。则r(R)可以表示为R的转置矩阵，即将R中的元素的顺序颠倒。具体来说，r(R)的第i行第j列的元素为1表示(j,i)属于R，否则为0。根据题目中给出的R，我们可以得到如下的矩阵表示：

$$
R=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
$$

则r(R)的矩阵表示为：

$$
r(R)=R^T=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
$$

以上就是对问题的回答。