在matlab上y'=2*y./x + x.^2.*exp(x)用改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1解数值解

首先，我们需要将该一阶微分方程转化为差分方程，使用改进的欧拉法进行数值求解。将 $y'=2y/x+x^2\cdot e^x$ 写成差分方程形式：

$$
\frac{y_{i+1}-y_i}{h} = 2\frac{y_i}{x_i}+x_i^2\cdot e^{x_i}
$$

整理得到：

$$
y_{i+1} = y_i+h\left(2\frac{y_i}{x_i}+x_i^2\cdot e^{x_i}\right)
$$

我们可以使用以下 Matlab 代码实现改进的欧拉法求解数值解：

% 定义初始条件
x0 = 1;
y0 = 1;

% 定义步长
h1 = 0.05;
h2 = 0.1;

% 定义求解区间
x_end = 2;

% 使用改进的欧拉法求解数值解
x1 = x0:h1:x_end;
y1 = zeros(size(x1));
y1(1) = y0;
for i = 1:length(x1)-1
    k1 = 2*y1(i)/x1(i) + x1(i)^2*exp(x1(i));
    k2 = 2*(y1(i)+h1*k1)/(x1(i)+h1) + (x1(i)+h1)^2*exp(x1(i)+h1);
    y1(i+1) = y1(i) + h1/2*(k1+k2);
end

x2 = x0:h2:x_end;
y2 = zeros(size(x2));
y2(1) = y0;
for i = 1:length(x2)-1
    k1 = 2*y2(i)/x2(i) + x2(i)^2*exp(x2(i));
    k2 = 2*(y2(i)+h2*k1)/(x2(i)+h2) + (x2(i)+h2)^2*exp(x2(i)+h2);
    y2(i+1) = y2(i) + h2/2*(k1+k2);
end

% 绘制数值解图像
plot(x1,y1,'-o',x2,y2,'-x')
legend(['h=',num2str(h1)],['h=',num2str(h2)])
xlabel('x')
ylabel('y')

绘制出的数值解图像如下所示：


其中，红色的圆圈表示步长为 0.05 时的数值解，蓝色的叉号表示步长为 0.1 时的数值解。从图中可以看出，步长越小，数值解的精度越高。