利用matlab根据三维非定常传热方程求沿x轴速度v移动的基模高斯激光辐照半无限大岩石温度场和应力场

本题涉及三维非定常传热方程，可以采用有限元方法进行求解。具体步骤如下：

1. 建立模型

考虑半无限大岩石，假设其为均匀介质，不考虑内部热源和热损失，且表面受到基模高斯激光辐照。则该问题可以用三维非定常传热方程描述：

$$
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q
$$

其中，$\rho$为岩石密度，$c_p$为比热容，$k$为热导率，$T$为温度场，$Q$为单位体积内的热源。由于问题为基模高斯激光辐照，因此可以假设热源为：

$$
Q = Q_0 e^{-\frac{x^2}{w^2}} e^{-\frac{t}{\tau}}
$$

其中，$Q_0$为激光功率密度，$w$为激光束腰半径，$\tau$为激光脉冲宽度。

2. 离散化

离散化是将连续问题转化为离散问题的过程。可以将岩石体积划分为一系列小单元，每个单元内的温度可以用一个节点表示。节点之间的温度可以通过插值得到。在每个节点上，三维非定常传热方程可以离散为：

$$
\rho c_p \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t} = \sum_j k_{ij} (T_j^{n+1} - T_i^{n+1}) + Q_i^n
$$

其中，$i$表示节点编号，$n$表示时间步数，$\Delta t$为时间步长，$k_{ij}$为节点$i$和节点$j$之间的传热系数，$Q_i^n$为节点$i$上的热源。

3. 求解

将离散化后的方程组写成矩阵形式：

$$
A T^{n+1} = B T^n + Q^n
$$

其中，$A$为系数矩阵，$B$为时间项系数矩阵，$T^{n+1}$表示下一个时间步的温度场，$T^n$表示当前时间步的温度场，$Q^n$为当前时刻的热源。

可以采用显式欧拉法进行求解：

$$
T^{n+1} = (A \Delta t + B) T^n + Q^n \Delta t
$$

按照时间步长迭代求解即可得到温度场的演化过程。对于应力场的求解，可以采用线弹性力学理论，结合温度场的变化，利用有限元方法求解。具体实现过程可以参考MATLAB中的PDE Toolbox工具箱。

代码如下：

% 清空工作空间
clear;
clc;

% 设置参数
rho = 2700;     % 岩石密度
cp = 900;       % 岩石比热容
k = 3;          % 岩石热导率
T0 = 20;        % 初始温度
Q0 = 1e6;       % 激光功率密度
w = 0.01;       % 激光束腰半径
tau = 1e-3;     % 激光脉冲宽度
L = 0.1;        % 模型长度
H = 0.1;        % 模型高度
D = 0.1;        % 模型深度
Nx = 20;        % x方向网格数
Ny = 20;        % y方向网格数
Nz = 20;        % z方向网格数
tmax = 1e-2;    % 最大模拟时间
dt = 1e-4;      % 时间步长

% 创建模型
model = createpde();

% 创建几何体
[x, y, z] = meshgrid(linspace(0, L, Nx+2), linspace(0, H, Ny+2), linspace(0, D, Nz+2));
g = geometryFromMesh(model, triangulation(delaunay(x(:), y(:), z(:)), [x(:), y(:), z(:)]));

% 创建边界条件
applyBoundaryCondition(model, 'dirichlet', 'face', 1:model.Geometry.NumFaces, 'u', T0);

% 创建初始条件
u0 = T0 * ones(size(g.Nodes, 2), 1);

% 创建系数矩阵
specifyCoefficients(model, 'm', 0, 'd', 1, 'c', rho*cp, 'a', k, 'f', Q0*exp(-(g.Nodes(1, :)/w).^2).*exp(-0/tau));
A = assemblePDE(model);
B = speye(size(A));
F = Q0*exp(-(g.Nodes(1, :)/w).^2).*exp(-0/tau);

% 迭代求解
for t = 0:dt:tmax
    F = Q0*exp(-(g.Nodes(1, :)/w).^2).*exp(-t/tau);
    u1 = (A*dt + B) * u0 + F * dt;
    setInitialConditions(model, u1);
    u0 = u1;
end

% 绘制结果
pdeplot3D(model, 'ColorMapData', u1);
title('Temperature distribution');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
view(-30, 30);