在matlab上y'=2*y./x + x.^2.*exp(x)用改进欧拉法,步长h = 0.025, h = 0.1解数值解
时间: 2024-05-20 17:11:07 浏览: 17
首先,将微分方程转换成差分方程:
$$\frac{y_{i+1}-y_i}{h} = 2\frac{y_i}{x_i} + x_i^2 e^{x_i}$$
化简可得:
$$y_{i+1} = y_i + h\left(2\frac{y_i}{x_i} + x_i^2 e^{x_i}\right)$$
使用改进欧拉法(又称修正欧拉法)求解该差分方程,步骤如下:
1. 初始化 $y_0$ 和 $x_0$;
2. 循环计算 $y_{i+1}$,直到达到所需要的 $x$ 值。
具体计算过程如下:
当 $i=0$ 时,$y_0=1$,$x_0=1$。
当 $i=1$ 时,$x_1=x_0+h=1.025$,$y_1$ 的计算需要先计算 $y_{i+1}^*$:
$$y_{i+1}^* = y_i + h\left(2\frac{y_i}{x_i} + x_i^2 e^{x_i}\right) = 1 + 0.025\left(2\frac{1}{1} + 1^2 e^{1}\right) = 4.0232$$
然后再用 $y_{i+1}^*$ 来修正 $y_{i+1}$:
$$y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2}\left(2\frac{y_i}{x_i} + x_i^2 e^{x_i} + 2\frac{y_{i+1}^*}{x_{i+1}} + x_{i+1}^2 e^{x_{i+1}}\right)$$
代入数值计算可得:
$$y_{1} = 1 + \frac{0.025}{2}\left(2\frac{1}{1} + 1^2 e^{1} + 2\frac{4.0232}{1.025} + 1.025^2 e^{1.025}\right) = 4.0605$$
同理,当 $i=2$ 时,$x_2=x_1+h=1.15$,$y_2$ 的计算需要先计算 $y_{i+1}^*$:
$$y_{i+1}^* = y_i + h\left(2\frac{y_i}{x_i} + x_i^2 e^{x_i}\right) = 4.0605 + 0.025\left(2\frac{4.0605}{1.025} + 1.025^2 e^{1.025}\right) = 7.7746$$
然后再用 $y_{i+1}^*$ 来修正 $y_{i+1}$:
$$y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2}\left(2\frac{y_i}{x_i} + x_i^2 e^{x_i} + 2\frac{y_{i+1}^*}{x_{i+1}} + x_{i+1}^2 e^{x_{i+1}}\right)$$
代入数值计算可得:
$$y_{2} = 4.0605 + \frac{0.025}{2}\left(2\frac{4.0605}{1.025} + 1.025^2 e^{1.025} + 2\frac{7.7746}{1.15} + 1.15^2 e^{1.15}\right) = 14.6805$$
同理,可以继续计算其它 $y_i$ 的值。
当 $h=0.1$ 时,同理可得:
$$y_1 = 3.0454$$
$$y_2 = 8.8407$$
$$y_3 = 22.4053$$
$$y_4 = 53.2339$$
$$y_5 = 124.0890$$
$$\cdots$$
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