已知一个固定容量的背包c=8和3个物品,每个物品有其重量和价值,重量分别为 (2,了,1),价值分别为(1,9,3)。如果每个 物品只能拿1个或不拿,请利用优先队列式分 支限界法求不超过背包容量的前提下可获得 的最大价值,用c++设计带注释的两种剪枝函数
时间: 2024-05-10 20:18:48 浏览: 3
首先,我们可以使用深度优先搜索算法进行穷举背包中物品的组合情况,但是这种算法会枚举所有的可能性,时间复杂度较高,因此我们可以使用分支限界法进行优化。
分支限界法的核心思想是在搜索过程中对可行解空间进行剪枝,从而避免不必要的搜索。具体来说,我们可以使用一个优先队列来存储当前搜索状态的所有可能性,每次从队头取出一个可能性进行搜索,并根据当前状态下的最优解对队列中的其他可能性进行剪枝,以减少搜索空间。
以下是实现代码:
```c++
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
struct Node {
int weight; // 当前背包重量
int value; // 当前背包价值
int level; // 当前搜索层级
int bound; // 当前状态下的价值上界
bool operator<(const Node& n) const { // 定义优先队列的排序规则
return bound < n.bound;
}
};
int knapsack(int capacity, int n, int* w, int* v) {
priority_queue<Node> q; // 定义优先队列
Node u, v;
u.level = -1; // 根节点的层级为-1
u.value = 0;
u.weight = 0;
u.bound = 0;
int max_value = 0; // 最大价值
q.push(u); // 将根节点加入优先队列
while (!q.empty()) {
u = q.top(); q.pop();
if (u.level == n - 1) continue; // 到达叶子节点,结束本次搜索
v.level = u.level + 1; // 扩展节点
v.weight = u.weight + w[v.level];
v.value = u.value + v[v.level];
if (v.weight <= capacity && v.value > max_value) {
max_value = v.value; // 更新最大价值
}
v.bound = bound(v, capacity, n, w, v);
if (v.bound > max_value) {
q.push(v); // 加入优先队列
}
v.weight = u.weight; // 不选当前物品
v.value = u.value;
v.bound = bound(v, capacity, n, w, v);
if (v.bound > max_value) {
q.push(v); // 加入优先队列
}
}
return max_value;
}
int bound(Node& u, int capacity, int n, int* w, int* v) {
if (u.weight >= capacity) { // 装满背包,返回0
return 0;
}
int j = u.level + 1;
int total_weight = u.weight;
int bound = u.value;
while (j < n && total_weight + w[j] <= capacity) {
total_weight += w[j];
bound += v[j];
j++;
}
if (j < n) {
bound += (capacity - total_weight) * v[j] / w[j]; // 装满背包
}
return bound;
}
int main() {
int capacity = 8;
int n = 3;
int w[] = {2, 5, 1};
int v[] = {1, 9, 3};
int max_value = knapsack(capacity, n, w, v);
cout << max_value << endl;
return 0;
}
```
在上述代码中,我们定义了两个剪枝函数:`bound`和重载运算符`<`。`bound`函数用于计算当前状态下的价值上界,即将剩余物品按照单位重量的价值从大到小排序后依次放入背包中,直到背包装满为止;`<`运算符用于定义优先队列的排序规则。
值得注意的是,分支限界法并不保证一定能够得到最优解,但是可以在较短时间内找到一个较优的解,因此适用于背包问题等NP问题的求解。