已知一个固定容量的背包c=8和3个物品,每个物品有其重量和价值,重量分别为(2,7,1),价值分别为(1,9,3)。如果每个物品只能拿1个或不拿,请利用优先队列式分支限界法求不超过背包容量的前提下可获得的最大价

值。

首先，我们可以将物品按照价值比重量的比例从大到小排序，得到(2,1)，(7,9)，(1,3)。然后，我们可以定义一个状态节点，包括当前的重量和当前的价值。初始时，重量为0，价值为0。接着，我们维护一个优先队列，每次从队列中取出一个状态节点进行扩展，分别考虑取当前物品和不取当前物品两种情况。

对于取当前物品的情况，如果加上当前物品的重量不超过背包容量，则可以得到一个新的状态节点，该节点的重量是当前状态节点的重量加上当前物品的重量，价值是当前状态节点的价值加上当前物品的价值。将该新的状态节点加入优先队列中。

对于不取当前物品的情况，直接将当前状态节点加入优先队列中即可。

在优先队列中，我们按照价值最大的节点排在前面，所以每次取出的节点一定是当前可扩展节点中价值最大的。如果当前可扩展节点的价值加上剩余物品的最大价值仍然小于当前最优解，则可以剪枝，不进行扩展。

最终，当队列为空时，得到的最大价值就是可获得的最大价值。在这个例子中，可获得的最大价值为12。

相关问题

已知一个固定容量的背包c=8和3个物品，每个物品有其重量和价值，重量分别为（2，7，1），价值分别为（1，9，3）。如果每个物品只能拿1个或不拿，请利用优先队列式分支限界法求不超过背包容量的前提下可获得的最大价值，设计剪枝函数

首先，我们可以将物品按照单位重量的价值（即每个物品的价值除以重量）从大到小排序，这样优先选择单位重量价值高的物品更有可能得到更大的价值。

然后，我们可以使用优先队列式分支限界法来求解。具体步骤如下：

1. 初始化一个优先队列，将初始节点（背包容量为c，当前价值为0，当前物品编号为0）加入队列中。

2. 对于每个节点，分别考虑选择当前物品和不选择当前物品两种情况。如果选择当前物品可以放入背包，则生成一个新节点（背包容量减去当前物品重量，当前价值加上当前物品价值，当前物品编号加1），并将其加入队列中。如果不选择当前物品，则生成一个新节点（背包容量不变，当前价值不变，当前物品编号加1），并将其加入队列中。

3. 在加入新节点时，我们可以计算当前节点的上界（即当前节点能够得到的最大价值），并根据上界对队列中的节点进行排序。具体计算上界的方法是：对于当前节点，将剩余物品按照单位重量价值从大到小排序，然后依次将剩余物品放入背包，直到背包满或者所有物品都放完为止。如果背包还有剩余容量，则将背包剩余容量全部用单位重量价值最大的物品填满。这样得到的价值就是当前节点的上界。

4. 在加入新节点时，我们可以进行剪枝。具体来说，如果当前节点的上界小于已经得到的最大价值，则可以直接舍弃该节点，不再加入队列中。

5. 重复步骤2-4，直到队列为空或者队列中的节点的上界均小于已经得到的最大价值为止。此时，已经得到的最大价值就是我们所求的结果。

下面是使用Python实现的代码：

已知一个固定容量的背包c=8和3个物品，每个物品有其重量和价值，重量分别为 （2，了，1)，价值分别为（1，9，3）。如果每个 物品只能拿1个或不拿，请利用优先队列式分 支限界法求不超过背包容量的前提下可获得 的最大价值，用c++设计带注释剪枝函数

优先队列式分支限界法是一种常用的求解01背包问题的算法。它的核心思想是通过优先队列来维护当前状态的子节点，每次取出队首元素进行拓展，直到队列为空或者找到最优解。在拓展过程中，通过剪枝函数对可能不符合要求的状态进行剪枝，从而减少搜索空间，提高算法效率。

下面给出一个示例代码，具体实现见注释：

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

// 物品结构体
struct Item {
    int weight;  // 重量
    int value;   // 价值
    double ratio;  // 价值重量比，用于排序
};

// 剪枝函数，判断当前状态是否符合要求
bool pruning(int capacity, int current_weight, int current_value, priority_queue<Item> pq) {
    // 如果当前重量已经超过了背包容量，则剪枝
    if (current_weight > capacity) {
        return true;
    }
    // 计算剩余物品的最大价值上限
    double max_value = current_value;
    int remaining_capacity = capacity - current_weight;
    while (!pq.empty() && remaining_capacity >= pq.top().weight) {
        max_value += pq.top().value;
        remaining_capacity -= pq.top().weight;
        pq.pop();
    }
    // 如果剩余物品的最大价值上限仍然小于当前价值，则剪枝
    if (max_value < current_value) {
        return true;
    }
    return false;
}

// 优先队列式分支限界法
int knapsack(int capacity, int n, int* weight, int* value) {
    // 将物品按照价值重量比从大到小排序，便于优先队列的弹出
    priority_queue<Item> pq;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Item item = {weight[i], value[i], (double)value[i] / weight[i]};
        pq.push(item);
    }
    // 初始化队首元素
    Item current_item = pq.top();
    pq.pop();
    // 初始化状态
    int current_weight = 0;
    int current_value = 0;
    int max_value = 0;
    // 优先队列式分支限界法主循环
    while (true) {
        // 判断当前状态是否符合要求
        if (!pruning(capacity, current_weight, current_value, pq)) {
            // 如果符合要求，则更新最大价值和当前状态
            if (current_value > max_value) {
                max_value = current_value;
            }
            // 如果队列为空，则搜索结束
            if (pq.empty()) {
                break;
            }
            // 取出队首元素进行拓展
            Item next_item = pq.top();
            pq.pop();
            // 分别考虑取和不取两种情况
            if (current_weight + next_item.weight <= capacity) {
                pq.push(current_item);
                current_item = next_item;
                current_weight += current_item.weight;
                current_value += current_item.value;
            } else {
                double remaining_value = (double)next_item.value / next_item.weight * (capacity - current_weight);
                pq.push({capacity - current_weight, (int)remaining_value, remaining_value});
            }
        } else {
            // 如果不符合要求，则直接弹出队首元素
            if (pq.empty()) {
                break;
            }
            current_item = pq.top();
            pq.pop();
        }
    }
    return max_value;
}

int main() {
    int capacity = 8;
    int n = 3;
    int weight[] = {2, 5, 1};
    int value[] = {1, 9, 3};
    int max_value = knapsack(capacity, n, weight, value);
    cout << "Max value: " << max_value << endl;
    return 0;
}

本代码中的剪枝函数采用了两种剪枝策略。首先，对于当前状态，如果其已经超过了背包容量，则直接剪枝。其次，计算剩余物品的最大价值上限，如果该上限仍然小于当前价值，则也可以剪枝。在实际应用中，还可以采用其他剪枝策略，如动态规划剪枝、可行性剪枝等，以进一步提高算法效率。