在MATLAB中，不使用matlab自动拟合的函数，例如polyfit等，得到一条直线y = ax+b，“最好”的穿过上面那些点。“最好”，在最小二乘意义下。得到a和b

在 MATLAB 中，可以使用最小二乘法（Least Squares Method）来拟合一条直线，其中 a 和 b 为直线的斜率和截距。以下是使用 MATLAB 的方法：

假设有 n 个点，其横坐标为 x = [x1, x2, ..., xn]，纵坐标为 y = [y1, y2, ..., yn]，要拟合的直线为 y = ax + b。

首先，可以将问题转化为矩阵形式：Y = X * P，其中 Y = [y1, y2, ..., yn]'，X = [x1, 1; x2, 1; ..., xn, 1]，P = [a; b]。

然后，通过最小二乘法求解 P，即 P = (X' * X)^(-1) * X' * Y。

在 MATLAB 中，可以使用以下代码实现：

% 输入数据
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2, 3, 5, 6, 8];

% 构造 X 和 Y 矩阵
X = [x', ones(size(x'))];
Y = y';

% 求解 P
P = (X' * X)^(-1) * X' * Y;

% 提取 a 和 b
a = P(1);
b = P(2);

% 输出结果
disp(['a = ', num2str(a)]);
disp(['b = ', num2str(b)]);

注意，这种方法只适用于拟合一条直线。如果要拟合更高次的多项式，可以将 X 矩阵中的每一行替换为 [x1^k, x1^(k-1), ..., x1, 1]，其中 k 为多项式的次数。

相关问题

生成一些二维平面上的点：(xi, yi), i=1, …, n，这些数据具有一定的线性趋势。为了得到一条直线y = ax+b，在最小二乘意义下，编程求解a和b，不能使用matlab自动拟合的函数，例如polyfit等

在最小二乘意义下，我们需要找到一条直线 y = ax + b，使得所有数据点到这条直线的距离平方和最小。假设我们有 n 个数据点，分别为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，则每个数据点到直线的距离为：

di = |yi - axi - b|

我们的目标是最小化所有距离的平方和：

min Σ(di^2) = min Σ(yi - axi - b)^2

对 a 和 b 分别求偏导数，令其等于 0，可以得到以下两个方程组：

Σ(xi^2)a + Σxi b = Σ(xi yi)
Σxi a + nb = Σyi

其中，n 表示数据点的个数。

根据这两个方程组，我们可以求解出 a 和 b，从而得到最优的直线。

以下是 Python 的代码实现：

import random

# 生成 n 个带有线性趋势的二维点
def generate_data(n):
    data = []
    for i in range(n):
        x = random.uniform(0, 100)
        y = 2 * x + random.uniform(-10, 10)
        data.append((x, y))
    return data

# 求解最小二乘直线的参数 a 和 b
def solve(data):
    n = len(data)
    s_x = s_y = s_xx = s_xy = 0
    for x, y in data:
        s_x += x
        s_y += y
        s_xx += x * x
        s_xy += x * y
    a = (n * s_xy - s_x * s_y) / (n * s_xx - s_x * s_x)
    b = (s_y - a * s_x) / n
    return a, b

data = generate_data(100)
a, b = solve(data)
print("最小二乘直线的参数：a = %f, b = %f" % (a, b))

运行上述代码，即可得到最小二乘直线的参数。

matlab使用最小二乘法拟合 y=ax+bx3+cx5

可以使用 MATLAB 内置的 `polyfit` 函数来进行多项式拟合，该函数默认使用最小二乘法来拟合数据。为了拟合 y=ax+bx^3+cx^5，需要将 x 的幂次扩展到 5，然后将 x^3 和 x^5 的系数设为 b 和 c，最终得到一个 6 阶多项式拟合：

x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [3, 24, 97, 260, 615];
p = polyfit(x, y, 5);

其中，`x` 和 `y` 分别为样本的自变量和因变量，`5` 表示拟合多项式的最高阶数。`polyfit` 函数返回一个包含多项式系数的向量 `p`，其中 `p(1)` 为常数项，`p(2)` 为一次项系数，以此类推。

为了得到拟合曲线，可以使用 `polyval` 函数，该函数根据多项式系数和自变量计算因变量：

xx = linspace(0, 6);
yy = polyval(p, xx);
plot(x, y, 'o', xx, yy);

这里使用 `linspace` 生成 100 个均匀分布的自变量 `xx`，然后使用 `polyval` 计算对应的因变量 `yy`，最后使用 `plot` 函数绘制样本点和拟合曲线。