.3．在ElGamal公钥密码体制中，设素数p=71，a=7是Z的生成元，β=3是公开的加密密钥，（1）设随机整数k=2，试求明文m=30所对应的密文;

在ElGamal公钥密码体制中，设素数$p=71$，$a=7$是$\mathbb{Z}_p^*$的生成元，$\beta=3$是公开的加密密钥。

若要将明文$m=30$加密，则需要进行如下步骤：

1. 随机选择一个整数$k$，$k=2$。

2. 计算$C_1=a^k\mod p$，$C_2=m\cdot\beta^k\mod p$。

根据上述步骤，我们可以得到密文为$(C_1,C_2)=(7^2\mod 71,30\cdot 3^2\mod 71)=(49,45)$。

因此，明文$m=30$所对应的密文为$(49,45)$。

相关问题

在ElGamal密码系统中，Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。

### 回答1：
在ElGamal密码系统中，Alice要发送的密文为$(a,b)$，其中：

$a\equiv g^k\pmod{p}$

$b\equiv m\cdot y^k\pmod{p}$

其中，$k$是Alice自己选择的随机数。因此，我们可以通过Bob的私钥和公钥来计算出$k$，然后就可以解密出明文$m$了。

根据公式，我们可以得到：

$k\equiv \log_3 7\pmod{17}$

$m\equiv b\cdot a^{-x}\pmod{p}$

首先，我们来计算$k$：

$3^4\equiv 1\pmod{17}$

$3^5\equiv 3\pmod{17}$

$3^6\equiv 9\pmod{17}$

$3^7\equiv 10\pmod{17}$

因此，$\log_3 7\equiv 7\pmod{16}$。因此，$k=7$。

接下来，我们来计算$m$：

$a\equiv g^k\equiv 3^7\equiv 11\pmod{17}$

$b\equiv m\cdot y^k\equiv 7\cdot 15^7\equiv 2\pmod{17}$

因此，$m\equiv b\cdot a^{-x}\equiv 2\cdot 11^{-6}\equiv 6\pmod{17}$。

因此，明文$m$为6。

### 回答2：
在ElGamal密码系统中，Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥，则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6)，现在我们来确定明文m。

首先，我们知道Bob的私钥x=6，公钥y=15以及密文(7,6)。根据ElGamal密码系统的加密过程，密文的第一个部分是c1，第二个部分是c2。

根据密文中的c1=7，我们可以计算出c1的逆元c1_inv。由于p=17是一个质数，根据模逆的定义，c1_inv为c1的p-2次幂模p的结果。因此，c1_inv = 7^(17-2) mod 17 = 7^15 mod 17。

接下来，我们可以使用公式m = c2 * c1_inv mod p来计算明文m。根据密文中的c2=6，我们可以代入计算得到明文m = 6 * c1_inv mod 17。

将c1_inv的计算代入得到m = 6 * (7^15 mod 17) mod 17。计算(7^15 mod 17)时，我们可以利用指数运算的性质进行简化，并且由于p=17是一个小质数，这个计算是很容易的。

最终，我们计算得到明文m = 12 mod 17 = 12。因此，明文m的数值为12。

综上所述，在ElGamal密码系统中，当Alice发送密文(7,6)时，明文m的数值为12。

### 回答3：
在ElGamal密码系统中，Bob选用了私钥x=6，公钥y=15，并且设定了p=17和g=3。Alice发送了密文(7,6)给Bob。

根据ElGamal密码系统的加密过程，Alice发送的密文是通过以下公式计算得出的：
c1 ≡ g^k mod p
c2 ≡ (m * y^k) mod p

其中，c1和c2分别表示密文的两个部分，k是临时生成的随机数。

已知密文(7,6)，我们可以计算出k的值：
7 ≡ 3^k mod 17

通过试验，我们可以得知k=5满足这个条件。

接下来，我们可以利用已知的密文和k的值来计算出明文m：
c2 ≡ (m * y^k) mod p
6 ≡ (m * 15^5) mod 17

我们可以通过反向计算得到明文m的值。将等式两边都乘以y的逆元y^-1，得到：
6 * y^-5 ≡ m mod 17

现在，我们需要计算出y的逆元y^-1：
y^-1 ≡ y^(p-1-x) mod p
≡ 15^(17-1-6) mod 17
≡ 15^10 mod 17
≡ 4 mod 17

将y的逆元代入反向计算等式中，我们可以得到：
6 * 4 ≡ m mod 17

最后，计算出明文m的值：
m ≡ 6 * 4 mod 17
≡ 24 mod 17
≡ 7

因此，明文m的值为7。

import random def fastExpMod(a, e, m): a = a % m res = 1 while e != 0: if e&1: res = (res * a) % m e >>= 1 #右移一位 a = (a * a) % m return res # 求最大公约数 def gcd(a, b): if b == 0: return a else: return gcd(b, a % b) # 扩展欧几里德算法求逆元 def extend_gcd(a, b): if b == 0: return 1, 0 else: x, y = extend_gcd(b, a % b) x, y = y, x - (a // b) * y return x, y # ElGamal密钥生成 def generate_key(p, g, x): y = pow(g, x, p) return (p, g, y, x), (p, g, y) # ElGamal加密 def encrypt(p, g, y, m): #Bob -- 加密 r = fastExpMod(g, k, p) c = (m * fastExpMod(y, k, p)) % p return r, c # ElGamal解密 def decrypt(ciphertext, private_key): r, c = ciphertext _, _, y = private_key k_inverse = extend_gcd(pow(r, p - 1 - y, p), p)[0] msg = chr((k_inverse * c) % p) return msg # 用户输入素数p和生成元g p = int(input("请输入一个大素数p：")) g = int(input("请输入一个在模p下的生成元g：")) # 用户输入私钥x和明文m x = int(input("请输入一个小于p-1的私钥x：")) m = input("请输入需要加密的明文m：") k= int(input('请输入一个随机数k：')) y = fastExpMod(g, k, p) # 生成ElGamal公钥和私钥 public_key, private_key = generate_key(p, g, x) # 对消息进行加密 ciphertext = encrypt(p, g, y, m) # 对密文进行解密 decrypted_msg = decrypt(ciphertext, private_key) # 输出结果 print(f"原始消息: {m}") print(f"加密后的消息: {ciphertext}") print(f"解密后的消息: {decrypted_msg}"，改代码有误问题

在代码中，最后一行的 `print` 语句中存在中文逗号，应该改为英文逗号。此外，`decrypt` 函数中的 `chr` 函数只能用于将整数转换为 ASCII 码对应的字符，如果明文不是单个字符，则需要使用其他方法将其转换为字符串。

以下是修改后的代码：

import random

def fastExpMod(a, e, m):
    a = a % m
    res = 1
    while e != 0:
        if e&1:
            res = (res * a) % m
        e >>= 1 #右移一位
        a = (a * a) % m
    return res

# 求最大公约数
def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

# 扩展欧几里德算法求逆元
def extend_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return 1, 0
    else:
        x, y = extend_gcd(b, a % b)
        x, y = y, x - (a // b) * y
        return x, y

# ElGamal密钥生成
def generate_key(p, g, x):
    y = pow(g, x, p)
    return (p, g, y, x), (p, g, y)

# ElGamal加密 
def encrypt(p, g, y, m, k): #Bob -- 加密
    r = fastExpMod(g, k, p)
    c = (m * fastExpMod(y, k, p)) % p
    return r, c

# ElGamal解密
def decrypt(ciphertext, private_key):
    r, c = ciphertext
    _, _, y = private_key
    k_inverse = extend_gcd(pow(r, p - 1 - y, p), p)[0]
    msg = chr((k_inverse * c) % p)
    return msg

# 用户输入素数p和生成元g
p = int(input("请输入一个大素数p："))
g = int(input("请输入一个在模p下的生成元g："))

# 用户输入私钥x和明文m
x = int(input("请输入一个小于p-1的私钥x："))
m = int(input("请输入需要加密的明文m："))
k = int(input('请输入一个随机数k：'))

y = fastExpMod(g, k, p)

# 生成ElGamal公钥和私钥
public_key, private_key = generate_key(p, g, x)

# 对消息进行加密
ciphertext = encrypt(p, g, y, m, k)

# 对密文进行解密
decrypted_msg = decrypt(ciphertext, private_key)

# 输出结果
print(f"原始消息: {m}")
print(f"加密后的消息: {ciphertext}")
print(f"解密后的消息: {decrypted_msg}")

请注意，此代码仅适用于加密单个字符的情况。如果要加密多个字符，需要使用其他方法将其转换为整数或二进制格式，并对加密、解密函数进行修改。