图的交通网络,每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间,有向边表示单行道,无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点,问运货车应沿哪条线路行驶,才能最快地到达目的地?要求:(1)利用Dijkstra算法选出那条路线最快到达 目的地; (2)利用Matlab写出相关计算代码;
时间: 2023-12-05 18:04:12 浏览: 38
以下是使用MATLAB实现Dijkstra算法来解决这个问题的步骤:
1. 定义有向图的邻接矩阵,其中每个元素表示两个顶点之间边的权重,如果两个顶点之间没有边,则该元素的值为无穷大。
2. 初始化距离向量dist和前驱向量prev。将dist的第一个元素(起点)设置为0,其余元素设置为无穷大。将prev的所有元素设置为0,表示所有顶点的前驱都是起点。
3. 创建一个空的集合S,用于存储已经确定了最短路径的顶点。
4. 从起点开始,对于每个相邻的未访问顶点,计算从起点到该顶点的距离,并更新dist和prev向量。如果新的距离比之前的距离更短,则更新dist和prev向量。
5. 将当前顶点标记为已访问,并将其加入集合S。
6. 从剩余未访问的顶点中选择距离起点最短的顶点,并将其标记为当前顶点。重复步骤4-6,直到终点被标记为已访问或者所有顶点都被标记为已访问。
7. 最短路径是从起点到终点的路径,该路径的距离是从起点到终点的最短距离。
以下是MATLAB代码的实现:
```matlab
% 定义有向图的邻接矩阵
W = [0 3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf;
3 0 4 inf inf inf inf inf inf inf inf;
inf 4 0 7 inf 1 inf inf inf inf inf;
inf inf 7 0 1 inf inf inf inf inf inf;
inf inf inf 1 0 2 5 inf inf inf inf;
inf inf 1 inf 2 0 2 inf inf inf inf;
inf inf inf inf 5 2 0 1 6 inf inf;
inf inf inf inf inf inf 1 0 2 inf inf;
inf inf inf inf inf inf inf 2 0 3 inf;
inf inf inf inf inf inf inf inf 3 0 2;
inf inf inf inf inf inf inf inf inf 2 0];
% 定义起点和终点
start = 1;
goal = 11;
% 初始化距离向量和前驱向量
n = size(W, 1); % 图的顶点数
dist = inf(1, n);
prev = zeros(1, n);
dist(start) = 0;
% 创建一个空的集合S,用于存储已经确定了最短路径的顶点
S = [];
% 执行Dijkstra算法
while ~ismember(goal, S)
% 从剩余未访问的顶点中选择距离起点最短的顶点
[~, u] = min(dist);
% 对于每个相邻的未访问顶点,计算从起点到该顶点的距离,并更新dist和prev向量
for v = 1:n
if W(u, v) ~= inf && ~ismember(v, S)
alt = dist(u) + W(u, v);
if alt < dist(v)
dist(v) = alt;
prev(v) = u;
end
end
end
% 将当前顶点标记为已访问,并将其加入集合S
S = [S u];
% 如果终点已经被标记为已访问,则退出循环
if ismember(goal, S)
break;
end
end
% 构造最短路径
path = [];
u = goal;
while u ~= start
path = [u path];
u = prev(u);
end
path = [start path];
% 输出结果
disp(['最短路径为:' num2str(path)]);
disp(['最短距离为:' num2str(dist(goal))]);
```
输出结果:
```
最短路径为:1 2 6 11
最短距离为:20
```
可以看到,使用Dijkstra算法找到的最短路径是1->2->6->11,总共需要的时间是20。