假设GMM包括4个高斯函数，每个高斯高数的权重、均值和方差参数为： NUMMIXES 4 MIXTURE 1 0.3 MEAN 5 3 4 6 -3 7 VARIANCE 0.1 0.3 0.05 0.4 0.6 MIXTURE 1 0.2 MEAN 5 1 -2 5 -4 8 VARIANCE 0.3 0.2 0.5 0.09 0.4 MIXTURE 1 0.4 MEAN 5 6 9 -5 3 2 VARIANCE 0.5 0.2 0.8 0.03 0.7 MIXTURE 1 0.1 MEAN 5 9 2 4 -5 8 VARIANCE 0.02 0.4 0.8 0.2 0.3 请计算输入特征｛-2,3,5,-4,6｝的GMM概率，要求列出发具体的计算过程。

首先，GMM模型的概率密度函数可以表示为：

$$p(x)=\sum_{i=1}^{K}w_i\phi(x;\mu_i,\Sigma_i)$$

其中，$K$是高斯函数的数量，$w_i$是第$i$个高斯函数的权重，$\mu_i$是第$i$个高斯函数的均值向量，$\Sigma_i$是第$i$个高斯函数的协方差矩阵，$\phi(x;\mu_i,\Sigma_i)$是第$i$个高斯函数的概率密度函数。

在本题中，$K=4$，$w_i$、$\mu_i$和$\Sigma_i$已知。现在需要计算输入特征向量$\mathbf{x}=[-2,3,5,-4,6]$的GMM概率。

按照上述公式，我们可以将GMM概率密度函数表示为：

$$p(\mathbf{x})=0.3\phi(\mathbf{x};\mu_1,\Sigma_1)+0.2\phi(\mathbf{x};\mu_2,\Sigma_2)+0.4\phi(\mathbf{x};\mu_3,\Sigma_3)+0.1\phi(\mathbf{x};\mu_4,\Sigma_4)$$

其中，$\phi(\mathbf{x};\mu_i,\Sigma_i)$可以表示为：

$$\phi(\mathbf{x};\mu_i,\Sigma_i)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\Sigma_i|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu_i)^T\Sigma_i^{-1}(\mathbf{x}-\mu_i)\right)$$

其中，$D$是特征向量的维度，$|\Sigma_i|$表示第$i$个高斯函数的协方差矩阵的行列式。

将输入特征向量代入上述公式，我们可以得到：

$$\mathbf{x}=[-2,3,5,-4,6]$$

$$p(\mathbf{x})=0.3\phi([-2,3,5,-4,6];\mu_1,\Sigma_1)+0.2\phi([-2,3,5,-4,6];\mu_2,\Sigma_2)+0.4\phi([-2,3,5,-4,6];\mu_3,\Sigma_3)+0.1\phi([-2,3,5,-4,6];\mu_4,\Sigma_4)$$

可以将每个高斯函数的概率密度函数代入上述公式计算，具体步骤如下：

1. 对于第一个高斯函数：

$$\begin{aligned} \phi([-2,3,5,-4,6];\mu_1,\Sigma_1) &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}|\Sigma_1|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}([-2,3,5,-4,6]-\mu_1)^T\Sigma_1^{-1}([-2,3,5,-4,6]-\mu_1)\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.1^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\-10\\1\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}0.1&0&0&0&0\\0&0.3&0&0&0\\0&0&0.05&0&0\\0&0&0&0.4&0\\0&0&0&0&0.6\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\-10\\1\end{bmatrix}\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.1^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\times 124.2\right) \\ &=8.9\times 10^{-7} \end{aligned}$$

2. 对于第二个高斯函数：

$$\begin{aligned} \phi([-2,3,5,-4,6];\mu_2,\Sigma_2) &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}|\Sigma_2|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}([-2,3,5,-4,6]-\mu_2)^T\Sigma_2^{-1}([-2,3,5,-4,6]-\mu_2)\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.2^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\-9\\2\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}0.3&0&0&0&0\\0&0.2&0&0&0\\0&0&0.5&0&0\\0&0&0&0.09&0\\0&0&0&0&0.4\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\-9\\2\end{bmatrix}\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.2^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\times 86.8\right) \\ &=1.2\times 10^{-5} \end{aligned}$$

3. 对于第三个高斯函数：

$$\begin{aligned} \phi([-2,3,5,-4,6];\mu_3,\Sigma_3) &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}|\Sigma_3|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}([-2,3,5,-4,6]-\mu_3)^T\Sigma_3^{-1}([-2,3,5,-4,6]-\mu_3)\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.4^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\9\\-3\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}0.5&0&0&0&0\\0&0.2&0&0&0\\0&0&0.8&0&0\\0&0&0&0.03&0\\0&0&0&0&0.7\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\9\\-3\end{bmatrix}\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.4^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\times 193.4\right) \\ &=2.1\times 10^{-7} \end{aligned}$$

4. 对于第四个高斯函数：

$$\begin{aligned} \phi([-2,3,5,-4,6];\mu_4,\Sigma_4) &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}|\Sigma_4|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}([-2,3,5,-4,6]-\mu_4)^T\Sigma_4^{-1}([-2,3,5,-4,6]-\mu_4)\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.1^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\-8\\2\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}0.02&0&0&0&0\\0&0.4&0&0&0\\0&0&0.8&0&0\\0&0&0&0.2&0\\0&0&0&0&0.3\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}-7\\0\\-1\\-8\\2\end{bmatrix}\right) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{5/2}0.1^{5/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\times 180.4\right) \\ &=1.6\times 10^{-5} \end{aligned}$$

最后，将每个高斯函数的概率密度函数的结果带入GMM概率密度函数的公式，即可计算输入特征向量$\mathbf{x}=[-2,3,5,-4,6]$的GMM概率：

$$\begin{aligned} p(\mathbf{x})&=0.3\times 8.9\times 10^{-7}+0.2\times 1.2\times 10^{-5}+0.4\times 2.1\times 10^{-7}+0.1\times 1.6\times 10^{-5} \\ &=3.7\times 10^{-6} \end{aligned}$$

因此，输入特征向量$\mathbf{x}=[-2,3,5,-4,6]$的GMM概率为$3.7\times 10^{-6}$。