matlab求服从泊松分布的参数极大似然估计值

假设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$x_1, x_2, \dots, x_n$ 是 $n$ 个独立同分布的样本观测值。则 $X$ 的概率质量函数为：

$$
P(X = x) = \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda}
$$

样本的似然函数为：

$$
L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} = \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}}{\prod_{i=1}^n x_i!} e^{-n\lambda}
$$

对似然函数取对数，得到对数似然函数：

$$
\ln L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \left(\sum_{i=1}^n x_i \right) \ln \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^n \ln x_i!
$$

对对数似然函数求导，得到：

$$
\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda} - n
$$

令导数等于零，解得极大似然估计值为：

$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
$$

即为样本的均值。因此，MATLAB 求服从泊松分布的参数 $\lambda$ 的极大似然估计值的代码如下：

% 样本数据
x = [2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 4, 2];

% 极大似然估计
lambda_ml = mean(x);

% 输出结果
disp(['极大似然估计值为：', num2str(lambda_ml)]);

其中，样本数据为 $x = [2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 4, 2]$，极大似然估计值为样本的均值，即 $\hat{\lambda} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i$。