python使用有限差分法求解的Black-Scholes方程

Black-Scholes方程描述了欧式期权的价格随时间的演化，其定义为：

$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0$$

其中，$V$ 是期权价格，$S$ 是标的资产价格，$\sigma$ 是标的资产价格的波动率，$r$ 是无风险利率，$t$ 是时间。

有限差分法是求解偏微分方程的一种方法，可以将偏微分方程转化为差分方程，进而求解。对于Black-Scholes方程，有限差分法的基本思路是将时间和价格均匀离散化，然后利用差分近似代替偏微分方程中的导数，得到差分方程，进而求解。

具体地，假设时间区间 $[0,T]$ 被划分为 $N$ 个等长的时间步长，即 $\Delta t=\frac{T}{N}$，标的资产价格区间 $[0,S_{\max}]$ 被划分为 $M$ 个等长的价格步长，即 $\Delta S=\frac{S_{\max}}{M}$。假设在时间 $t_n=n\Delta t$，价格 $S_m=m\Delta S$ 的期权价格为 $V_{n,m}$，则有以下差分方程：

$$\frac{V_{n+1,m}-V_{n,m}}{\Delta t}+\frac{1}{2}\sigma^2S_m^2\frac{V_{n,m+1}-2V_{n,m}+V_{n,m-1}}{\Delta S^2}+rS_m\frac{V_{n,m+1}-V_{n,m-1}}{2\Delta S}-rV_{n,m}=0$$

其中，$\frac{V_{n+1,m}-V_{n,m}}{\Delta t}$ 代表期权价格在时间上的变化率，$\frac{1}{2}\sigma^2S_m^2\frac{V_{n,m+1}-2V_{n,m}+V_{n,m-1}}{\Delta S^2}$ 代表标的资产价格的波动率对期权价格变化的贡献，$rS_m\frac{V_{n,m+1}-V_{n,m-1}}{2\Delta S}$ 代表股息对期权价格的影响，$-rV_{n,m}$ 代表无风险利率对期权价格的影响。

根据上述差分方程，可以利用迭代法求解出所有时间和价格下的期权价格，进而得到欧式期权的价格随时间的演化。