证明投影算子为线性算子

要证明投影算子为线性算子，需要证明它满足加法和数乘的性质。

设 $P$ 是一个投影算子，$u,v$ 是向量，$\alpha$ 是一个标量，则有：

1. 加法性质：$P(u+v) = P(u) + P(v)$

证明：

由于 $P$ 是一个投影算子，则有 $P^2 = P$，即对任意向量 $x$，有 $P(P(x)) = P(x)$。因此有：

$$
\begin{aligned}
&P(u+v) \\
=& P(u+v) + 0 \\
=& P(u+v) + P(0) \\
=& P(u+v) + P(u-u) + P(v-v) \\
=& P(u) + P(v)
\end{aligned}
$$

其中，第二个等式是因为 $P(0) = 0$，第三个等式是因为 $P(u-u) = P(u) - P(u) = 0$，$P(v-v) = P(v) - P(v) = 0$。

所以，加法性质成立。

2. 数乘性质：$P(\alpha u) = \alpha P(u)$

证明：

$$
\begin{aligned}
P(\alpha u) =& P(\alpha u + 0) \\
=& P(\alpha u + \alpha(-u) + \alpha u - \alpha u) \\
=& P(\alpha u - \alpha u) + P(\alpha u + \alpha(-u)) \\
=& 0 + \alpha P(u) \\
=& \alpha P(u)
\end{aligned}
$$

其中，第二个等式是因为 $\alpha(-u) = -\alpha u$，第三个等式是因为 $P(\alpha u - \alpha u) = 0$。

所以，数乘性质成立。

综上所述，投影算子是一个线性算子。