T(n) = 2T(n/2) + nlogn的asymptotically tight bound

我们可用主定理（Master Theorem）来证明T(n) = 2T(n/2) 的时间复杂度为nlogn的asymptotically tight bound。

根据主定理，对于递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)（其中a和b为常数，且f(n)为渐进正的函数）：

如果f(n) = O(n^log[b]a-ε) 对某个常数ε > 0，则T(n) = Θ(n^log[b]a)。
如果f(n) = Θ(n^log[b]a * logk n)，则T(n) = Θ(n^log[b]a * logk+1 n) 。
如果f(n) = Ω(n^log[b]a+ε) 对某个常数ε > 0，并且如果对某个常数c < 1和足够大的n，有af(n/b) ≤ cf(n)，则T(n) = Θ(f(n)) 。

在这里，a = 2，b = 2，f(n) = 0，因此f(n) = Θ(n^0)，即 f(n) = Θ(1)。

因为 f(n) = Θ(1) = Θ(n^0)，所以我们可以应用主定理的第一种情况来计算时间复杂度，即：

T(n) = Θ(n^log[b]a) = Θ(n^log[2]2) = Θ(nlogn)

证毕。

相关问题

T(n) = 2T(n/2) + nlogn的tight bound

通过主定理（Master Theorem），可得T(n)=O(nlogn)。因为a=2, b=2, f(n) = n^log_ba = n^log_22 = n。根据主定理，当f(n) = O(n^log_ba-ε)时，复杂度为O(n^log_ba)；当f(n) = Θ(n^log_ba)时，复杂度为O(n^log_ba * logn)；当f(n) = Ω(n^log_ba+ε)且af(n/b) <= cf(n)时，复杂度为O(f(n))。 因为n = Ω(n^ε)，且2(n/2) <= cn，所以满足上述条件。故复杂度为O(nlogn)。

利用主定理说明以下时间函数的复杂度: T(n) = 9T(n/3) + n ;T(n) = T(2n/3) + 1 ;T(n) = 3T(n/4) + nlogn;T(n)=2T(n/2)+2

对于第一个时间函数，根据主定理，其中的a=9，b=3，d=0，因为logb(a) = log3(9) = 2 > d，所以时间复杂度为 O(n^(log3(9)))，即 O(n^2.08)。

对于第二个时间函数，根据主定理，其中的a=1，b=3/2，d=0，因为logb(a) = log3/2(1) = 0 < d，所以时间复杂度为 O(1)。

对于第三个时间函数，根据主定理，其中的a=3，b=4，d=1，因为logb(a) = log4(3) < d，所以时间复杂度为 O(nlogn)。

对于第四个时间函数，根据主定理，其中的a=2，b=2，d=1，因为logb(a) = log2(2) = 1 = d，所以时间复杂度为 O(nlogn)。