增广矩阵的秩和系数矩阵的秩怎么求

设 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵，将 $A$ 与一个 $m\times (m+n)$ 的矩阵 $\tilde{A}$ 水平合并，得到一个增广矩阵 $\left[\begin{array}{c|c}A&I_m\\\hline\tilde{A}&0_{m\times n}\end{array}\right]$。则增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，即 $\text{rank}(A)=\text{rank}\left[\begin{array}{c|c}A&I_m\\\hline\tilde{A}&0_{m\times n}\end{array}\right]$。

证明如下：

设 $r=\text{rank}(A)$，则存在一个 $m\times r$ 的矩阵 $B$ 使得 $A$ 的列向量可以表示成 $B$ 的列向量的线性组合。也就是说，$A=[b_1,b_2,\ldots,b_r]$，$B=[b_1,b_2,\ldots,b_r,C]$，其中 $C$ 是一个 $m\times (n-r)$ 的矩阵。将 $B$ 与 $\tilde{A}$ 水平合并得到：

$$\left[\begin{array}{c|c}B&C\\\hline\tilde{A}&0_{m\times n-r}\end{array}\right]$$

将第一行乘以 $-1$ 加到第 $i$ 行 ($i=1,2,\ldots,m$) 上，然后将第一行删除，得到：

$$\left[\begin{array}{c|c}B&C\\\hline\tilde{A}-BC&0_{m\times n-r}\end{array}\right]$$

由于 $A=[b_1,b_2,\ldots,b_r]$ 可以表示成 $B$ 的列向量的线性组合，所以 $\tilde{A}-BC$ 的每一行都是 $A$ 的线性组合。因此，增广矩阵的秩不超过 $r$。

另一方面，设 $\text{rank}\left[\begin{array}{c|c}B&C\\\hline\tilde{A}-BC&0_{m\times n-r}\end{array}\right]=k$，则存在一个 $m\times k$ 的矩阵 $D$ 使得 $B$ 的列向量可以表示成 $D$ 的列向量的线性组合。也就是说，$B=[d_1,d_2,\ldots,d_k,E]$，$D=[d_1,d_2,\ldots,d_k,F]$，其中 $F$ 是一个 $m\times (r-k)$ 的矩阵。将 $D$ 与 $\tilde{A}-BC$ 水平合并得到：

$$\left[\begin{array}{c|c}D&F\\\hline\tilde{A}-BC&0_{m\times r-k}\end{array}\right]$$

将第一行乘以 $-1$ 加到第 $i$ 行 ($i=1,2,\ldots,m$) 上，然后将第一行删除，得到：

$$\left[\begin{array}{c|c}D&F\\\hline(\tilde{A}-BC)-DF&0_{m\times r-k}\end{array}\right]$$

由于 $B=[d_1,d_2,\ldots,d_k,E]$ 可以表示成 $D$ 的列向量的线性组合，所以 $(\tilde{A}-BC)-DF$ 的每一行都是 $A$ 的线性组合。因此，增广矩阵的秩不小于 $r$。

综上，$\text{rank}(A)=\text{rank}\left[\begin{array}{c|c}A&I_m\\\hline\tilde{A}&0_{m\times n}\end{array}\right]$。