雅克比迭代法python代码及算法伪代码

雅克比迭代法是解线性方程组的一种迭代方法，它以迭代的方式逼近方程的解，直到满足一定精度或次数要求为止。本篇文章将介绍雅克比迭代法的算法伪代码和Python实现。

算法伪代码如下：

输入：系数矩阵A和常数向量b，迭代次数M和误差容限ε

输出：n元线性方程组Ax=b的解x

初始化向量x(0)，k=0

重复直到k>=M或误差小于ε：

k=k+1

对于每个分量i，计算：x(i)(k)=(bi-Σ(a(i,j)*x(j)(k-1)))/a(i,i)，j=i+1,……,n

计算误差：err=|x(k)-x(k-1)|2 / |x(k)|2

返回向量x(k)

Python代码如下：

import numpy as np

def jacobi(A, b, x0, M, eps):
    n = len(b)
    x = x0.copy()
    for k in range(M):
        # 计算下一轮迭代的 x
        for i in range(n):
            x[i] = (b[i]-np.dot(A[i,:i],x0[:i])-np.dot(A[i,i+1:],x0[i+1:]))/A[i,i]
        # 判断是否满足精度要求
        err = np.linalg.norm(x-x0)/np.linalg.norm(x)
        if err < eps:
            return x, k+1
        # 更新 x0
        x0 = x.copy()
    return x, k+1

其中，A是系数矩阵，b是常数向量，x0是初始解向量，M是最大迭代次数，eps是精度容限。

在算法实现中，首先将x0复制一份作为迭代的初始向量x，然后进行迭代：

$$x_i^{(k)}=\frac{b_i-\sum\limits_{j=1,j\neq i}^na_{ij}x_j^{(k-1)}}{a_{ii}},\ i=1,2,\cdots,n$$

每完成一轮迭代，计算误差：

$$err=\frac{\left\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)} \right\Vert_2}{\left\Vert x^{(k)} \right\Vert_2}$$

如果误差小于预设值eps，则返回当前解x和完成的迭代次数k。如果迭代次数到达最大次数M仍未满足精度要求，则返回当前解x和迭代次数k。