帮我写一个多点拟合圆心的算法
时间: 2024-03-28 21:19:44 浏览: 12
多点拟合圆心的算法一般使用最小二乘法进行计算。以下是一个简单的实现方法:
1. 将给定的多个点 $(x_i, y_i)$ 转换为极坐标 $(r_i, \theta_i)$,其中 $r_i=\sqrt{x_i^2+y_i^2}$,$\theta_i=\arctan\frac{y_i}{x_i}$。
2. 对于每个点对 $(i,j)$,计算其中心点 $(x_c, y_c)$:
$$
x_c=\frac{r_i^2-r_j^2}{2(x_i-x_j)}+\frac{x_i+x_j}{2},\\
y_c=\frac{r_i^2-r_j^2}{2(y_i-y_j)}+\frac{y_i+y_j}{2}.
$$
3. 对于每个中心点 $(x_c, y_c)$,计算其对应的半径 $r_c$:
$$
r_c=\sqrt{(x_i-x_c)^2+(y_i-y_c)^2}.
$$
4. 对所有中心点 $(x_c, y_c)$ 和半径 $r_c$ 进行最小二乘拟合,求出圆心 $(x_0, y_0)$ 和半径 $r_0$。
最小二乘拟合可以使用线性回归方法,将圆心坐标和半径看作自变量和因变量,分别构造 $3\times 3$ 的矩阵 $A$ 和向量 $b$:
$$
A=\begin{bmatrix}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
x_n & y_n & 1
\end{bmatrix},
\quad
b=\begin{bmatrix}
r_1^2\\
r_2^2\\
\vdots\\
r_n^2
\end{bmatrix}.
$$
则最小二乘解为:
$$
\begin{bmatrix}
x_0\\
y_0\\
r_0
\end{bmatrix}
=(A^\top A)^{-1}A^\top b.
$$
这个解可以用高斯消元法或QR分解法求出。
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