编写两个函数，分别求两个整数的最大公约数和最小公倍数，并用主函数调用这两个函数，然后输出结果。两个整数由键盘输入。约定最大公约数为正整数，两数里有负的则最小公倍数就为负的。

### 回答1：
下面是用 Python 实现的程序示例：

# 最大公约数函数
def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

# 最小公倍数函数
def lcm(a, b):
    return (a * b) // gcd(a, b)

# 主函数
if __name__ == '__main__':
    a = int(input("请输入第一个整数："))
    b = int(input("请输入第二个整数："))
    print("最大公约数为：", gcd(a, b))
    print("最小公倍数为：", lcm(a, b))

在这个程序中，最大公约数函数 gcd() 采用辗转相除法，最小公倍数函数 lcm() 利用最大公约数函数求得最大公约数，再用两个数的乘积除以最大公约数。在主函数中，通过键盘输入两个整数，调用两个函数求最大公约数和最小公倍数，最后输出结果。

### 回答2：
最大公约数和最小公倍数都是数学中常见的概念，对于编写这两个函数，主要需要使用到数学中的相关算法。

最大公约数：

最大公约数就是能够同时整除给定的两个整数的最大正整数。求最大公约数的常用算法是辗转相除法，又称欧几里得算法。假设两个数字为a和b，且a>b，则有：

1. 计算mod = a%b, 若mod=0，则最大公约数为b；

2. 若mod≠0，则a=b, b=mod, 然后重复步骤1，直到mod=0为止。

最小公倍数：

最小公倍数就是能够被两个整数同时整除的最小正整数。求最小公倍数的算法可以通过求得最大公约数来实现。假设两个数字为a和b，且gcd为它们的最大公约数，则有：

最小公倍数 = |a * b| / gcd

其中，绝对值符号是为了约定当两数中有一个为负数时，最小公倍数也要为负数。

在函数方面，我们可以按照上述算法实现max和min函数：

#include <iostream>
using namespace std;

//计算最大公约数
int max(int x, int y) {
    if (y == 0) return x;
    return max(y, x%y);
}

//计算最小公倍数
int min(int x, int y) {
    int gcd = max(x,y);
    return abs(x*y) / gcd;
}

//主函数
int main() {
    int x, y;
    cout << "请输入两个整数：";
    cin >> x >> y;
    int gcd = max(x, y);
    int lcm = min(x, y);
    cout << "最大公约数为：" << gcd << endl;
    cout << "最小公倍数为：" << lcm << endl;
    return 0;
}

在主函数中，首先输入两个整数，分别计算它们的最大公约数和最小公倍数，并输出结果。其中调用了max和min两个函数，可使程序结构清晰明了，也便于维护和拓展。

### 回答3：
最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD），指两个或多个整数可以同时整除的最大的正整数。最小公倍数（Least Common Multiple，LCM），指两个或多个整数公有的倍数中，最小的一个数。这两个问题是数学中非常基本的问题，也是我们计算机中经常需要用到的问题。

首先需要明确最大公约数和最小公倍数的求解方法。最大公约数可以使用辗转相除法或欧几里得算法求解，而最小公倍数可以通过最大公约数求解。

辗转相除法是一种简便的求最大公约数的方法，它的思想是用除法将两个数不断缩小。具体过程如下：

1. 将两个数中较大的数除以较小的数，得到余数。
2. 如果余数为0，则较小的数就是最大公约数。
3. 如果余数不为0，则将较小的数与余数再进行一次相除，得到新的余数。
4. 重复上述过程，直到余数为0为止。

欧几里得算法也是求最大公约数的一种方法。它的数学基础是辗转相除法推导的结论：两个正整数a和b的最大公约数等于a除以b的余数c与b之间的最大公约数。

最小公倍数可以使用最大公约数求解。如果两个数的最大公约数为gcd，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积除以最大公约数，即lcm = a*b/gcd。

然后，我们就可以根据上述算法，编写求最大公约数和最小公倍数的函数。

下面是求最大公约数的函数gcd()的代码：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

将两个数a和b作为输入参数，递归地调用gcd()函数，直到b等于0，此时a就是最大公约数。如果b不等于0，则继续递归，将b和a % b作为参数传递。

下面是求最小公倍数的函数lcm()的代码：

def lcm(a, b):
    gcd_value = gcd(a, b)
    return abs(a*b)/gcd_value    # 取绝对值，避免出现负数

先调用gcd()函数求出a和b的最大公约数，然后通过a*b/gcd_value计算最小公倍数，注意要取绝对值。

最后，我们可以在主函数中调用这两个函数，输入两个整数，求出它们的最大公约数和最小公倍数，并输出结果。下面是完整代码：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

def lcm(a, b):
    gcd_value = gcd(a, b)
    return abs(a*b)/gcd_value    # 取绝对值，避免出现负数

if __name__ == "__main__":
    a = int(input("请输入第一个整数："))
    b = int(input("请输入第二个整数："))

    gcd_value = gcd(a, b)
    print("最大公约数为：", gcd_value)

    lcm_value = lcm(a, b)
    print("最小公倍数为：", lcm_value)

注意，为了避免最小公倍数为负数的情况，我们可以在输出时将其取绝对值。