在q元有限域Fq=0URqU Nq中，证明： a (Rq·)构成(F*q，·)的子群. b Nq=空集，当且仅当q是偶数. C 若q是奇数，则|Rq| =|Nql. d 设q=29，解二次方程x^2-x-1=0. e 【思考题】在F29中，写出Fibonacci数列的通项公式.Fibonacci 数列：ao=0，a1=1，ak=ak-1+ak-2·【开放题】写出上述数列的周期，并给出计算方法.

a. 首先需要证明a在F*q中，即a是Fq的一个非零元素，且a的阶（即最小的正整数k，使得a^k=1）等于q-1。因为Fq是一个有限域，所以其中的每个非零元素都有逆元，因此a有逆元a^-1，且a不等于0。又因为Fq中的每个元素都可以表示为a的幂次方，即Fq={a^0, a^1, ..., a^(q-2)}，所以a的阶等于q-1。因此a(Rq·)构成(F*q，·)的子群。

b. 要证明Nq=空集，需要证明q是偶数的充分必要条件是Nq=空集。首先假设q是偶数，则有q=2k，其中k是正整数。由于Rq={0, 1, 2, ..., q-1}，所以Rq中的元素个数是奇数，不能被划分成两个大小相等的子集，因此不存在任何一个子集是Rq的非空真子集，满足其所有元素的和模q等于0。因此Nq=空集。

反之，假设Nq=空集，则不存在任何一个子集是Rq的非空真子集，满足其所有元素的和模q等于0。因为Rq={0, 1, 2, ..., q-1}，所以Rq中的元素个数是奇数，不能被划分成两个大小相等的子集，因此存在一个子集，使得该子集的元素和模q等于Rq中所有元素的和模q，即该子集的元素和模q等于q/2。因此q/2必须是Rq中的一个元素，即q/2是一个整数。因此q是偶数。

因此，Nq=空集当且仅当q是偶数。

c. 因为q是奇数，所以Fq中的每个非零元素都有逆元，且每个元素的阶等于q-1。因此，Fq*={1, 2, ..., q-1}，且其中的每个元素都是Fq的生成元。又因为|Rq|=q-1，所以Rq=<(q-1)/2>，即Rq中的每个元素的阶都是2。因此，Fq*与Rq没有任何交集。因为Fq*和Rq的元素个数之和等于q+1，而Rq中只有一个元素的阶等于q，所以Fq*和Rq的并集等于Fq。

因此，|Rq|=|Nq|=(q-1)/2。

d. 首先需要求出x^2-x-1在F29中的根。因为29是质数，所以F29是一个有限域，其中每个非零元素都有逆元。因此，可以使用求根公式求出x=(1±√5)/2在F29中的值。其中，√5没有意义，因为F29中不存在平方为5的元素。因此，只有一组解x=15和x=14。

因为x^2-x-1=(x-15)(x-14)，所以在F29中，解二次方程x^2-x-1=0的解为x=15和x=14。

e. 在F29中，Fibonacci数列的通项公式为an=(((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n)/√5。其中，√5的意义与上面相同，只有一组解(15,14)。

【思考题】在F29中，Fibonacci数列的周期为28。计算方法如下：

首先可以证明，Fibonacci数列在任何有限域Fq中都是周期序列。因为Fibonacci数列的递推式为ak=ak-1+ak-2，所以Fibonacci数列的后继仅取决于前两项。因此，Fibonacci数列必然是具有周期性的。

接下来需要求出Fibonacci数列在F29中的周期。因为Fibonacci数列的通项公式中包含√5，而√5在F29中没有意义，所以需要使用Fibonacci数列的递推式求出前28项，并观察是否开始重复出现。

F0=0，F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，F7=13，F8=21，F9=4，F10=25，F11=24，F12=19，F13=12，F14=6，F15=18，F16=23，F17=16，F18=9，F19=4，F20=2，F21=1，F22=3，F23=4，F24=7，F25=11，F26=18，F27=6，F28=25。

可以发现，Fibonacci数列在F29中的周期长度为28，且周期为(F0, F1, F2, ..., F26, F27)。