用C实现三参数拟合曲线的方法

实现三参数拟合曲线的方法可以使用最小二乘法。最小二乘法是一种数学优化技术，用于对一组数据进行拟合，以找到最小化误差平方和的系数。

以下是基本的步骤：

1. 定义函数模型。在三参数拟合曲线中，常用的模型是 y=a*x^b + c。

2. 定义误差函数。误差函数是拟合曲线与原始数据之间的差距。常用的误差函数是平方误差，即误差平方和。

3. 最小化误差函数。使用最小二乘法来最小化误差函数，找到最佳拟合系数。

4. 计算拟合曲线。使用最佳拟合系数，计算拟合曲线。

以下是基于最小二乘法的三参数拟合曲线的C代码示例：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 定义函数模型 y=a*x^b + c
double func(double x, double a, double b, double c)
{
    return a * pow(x, b) + c;
}

// 定义误差函数
double error(double x[], double y[], int n, double a, double b, double c)
{
    double err = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double delta = y[i] - func(x[i], a, b, c);
        err += delta * delta;
    }
    return err;
}

// 最小化误差函数
void fit(double x[], double y[], int n, double *a, double *b, double *c)
{
    double sum_xlny = 0, sum_lnxy = 0, sum_lnx = 0, sum_lnx2 = 0, sum_ln2x = 0, sum_ln3x = 0, sum_ln4x = 0, sum_y = 0, sum_xy = 0, sum_x2y = 0, sum_x3y = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double ln_x = log(x[i]);
        double ln_y = log(y[i]);
        sum_xlny += x[i] * ln_y;
        sum_lnxy += ln_x * y[i];
        sum_lnx += ln_x;
        sum_lnx2 += ln_x * ln_x;
        sum_ln2x += ln_x * ln_x * ln_x;
        sum_ln3x += ln_x * ln_x * ln_x * ln_x;
        sum_ln4x += ln_x * ln_x * ln_x * ln_x * ln_x;
        sum_y += ln_y;
        sum_xy += x[i] * ln_y;
        sum_x2y += pow(x[i], 2) * ln_y;
        sum_x3y += pow(x[i], 3) * ln_y;
    }

    double D = n * sum_lnx2 * sum_ln4x + sum_lnx * sum_ln3x * sum_ln2x + sum_ln2x * sum_lnx2 * n * sum_lnx - sum_ln2x * sum_ln2x * n * sum_lnx - sum_ln3x * sum_lnx * sum_lnx2 - sum_lnx2 * sum_lnx2 * sum_ln4x;
    double Da = sum_y * sum_lnx2 * sum_ln4x + sum_lnx * sum_ln3x * sum_xlny + sum_ln2x * sum_y * n * sum_lnx - sum_ln2x * sum_lnx * sum_xlny - sum_ln3x * sum_y * sum_lnx2 - sum_xlny * sum_lnx2 * sum_ln4x;
    double Db = n * sum_xlny * sum_ln4x + sum_lnx * sum_ln3x * sum_xy + sum_ln2x * sum_lnx * sum_y - sum_ln2x * sum_xlny * n - sum_ln3x * sum_xy * sum_lnx2 - sum_lnx2 * sum_xlny * sum_ln4x;
    double Dc = n * sum_lnx2 * sum_xy + sum_y * sum_ln3x * sum_ln2x + sum_ln2x * sum_xlny * n * sum_lnx - sum_ln2x * sum_xy * sum_lnx - sum_ln3x * sum_xlny * sum_lnx2 - sum_lnx2 * sum_y * sum_ln4x;
    double a_val = exp((Db * sum_lnx2 - Da * sum_ln3x) / D);
    double b_val = (n * sum_x2y * sum_ln4x + sum_xy * sum_ln3x * sum_ln2x + sum_lnx * sum_ln3x * sum_xlny - sum_ln2x * sum_x2y * n - sum_ln3x * sum_xy * sum_lnx - sum_lnx2 * sum_xlny * sum_x2y) / (n * sum_x2y * sum_ln2x - sum_lnx * sum_x3y + sum_ln2x * n * sum_lnx2 - sum_ln2x * sum_lnx * sum_lnx);
    double c_val = exp((Dc * sum_lnx2 - Db * sum_ln3x) / D);

    *a = a_val;
    *b = b_val;
    *c = c_val;
}

int main()
{
    double x[] = {1, 2, 3, 4, 5};
    double y[] = {1.2, 2.3, 3.5, 4.2, 5.6};
    int n = 5;

    double a, b, c;
    fit(x, y, n, &a, &b, &c);

    printf("a=%lf, b=%lf, c=%lf\n", a, b, c);

    return 0;
}

以上的代码实现了三参数拟合曲线，使用了最小二乘法来最小化误差函数。