四阶polynomial chaos4维函数回归 matalb示例

以下是一个基于Matlab的四阶Polynomial Chaos回归的示例代码：

1. 首先，我们需要定义一个四维函数，这里我们选择一个简单的例子：

function y = myFunction(x)
y = 2*x(1)^2 + 3*x(2)^3 + 4*x(3)^4 + 5*x(4)^5;
end

2. 接下来，我们需要定义Polynomial Chaos的参数。这里我们选择四阶Polynomial Chaos，使用Legendre多项式。我们需要定义多项式的系数矩阵和标准化的Legendre多项式。

order = 4; % 四阶Polynomial Chaos
nDim = 4; % 四个自变量
nCoeff = nchoosek(order+nDim, order); % 多项式系数数量
coeffMat = zeros(nCoeff, nDim); % 多项式系数矩阵
for i = 0:order
for j = 0:order-i
for k = 0:order-i-j
l = order - i - j - k;
idx = nchoosek(i+j+k+l+i, i+j+k+l);
coeffMat(idx, :) = [i j k l];
end
end
end
legMatrix = zeros(nCoeff, nDim); % 标准化的Legendre多项式矩阵
for i = 1:nCoeff
for j = 1:nDim
legMatrix(i, j) = legendre(coeffMat(i,j), rand(1))*sqrt((2*coeffMat(i,j)+1)/2);
end
end

3. 接下来，我们需要生成随机样本点，并计算每个样本点的函数值。这里我们选择生成100个样本点。

nSamples = 100; % 样本点数量
xSamples = zeros(nSamples, nDim); % 样本点矩阵
ySamples = zeros(nSamples, 1); % 函数值矩阵
for i = 1:nSamples
xSamples(i, :) = rand(1, nDim); % 随机生成样本点
ySamples(i) = myFunction(xSamples(i, :)); % 计算函数值
end

4. 然后，我们需要计算基于Polynomial Chaos的回归系数，并使用回归系数对函数进行回归。

regCoeff = (legMatrix'*legMatrix)\(legMatrix'*ySamples);
yPredict = legMatrix*regCoeff;

5. 最后，我们可以使用Matlab的plot函数将原函数和回归函数进行可视化比较。

xPlot = linspace(0, 1, 1000); % 用于绘制的自变量
yTrue = zeros(size(xPlot)); % 真实函数值
yReg = zeros(size(xPlot)); % 回归函数值
for i = 1:length(xPlot)
yTrue(i) = myFunction([xPlot(i) xPlot(i) xPlot(i) xPlot(i)]);
yReg(i) = legMatrix*[legendre(0, xPlot(i))*sqrt(1/2) legendre(1, xPlot(i))*sqrt(3/2) legendre(2, xPlot(i))*sqrt(5/2) legendre(3, xPlot(i))*sqrt(7/2)]'*regCoeff;
end
plot(xPlot, yTrue, 'k-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(xPlot, yReg, 'r--', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('True Function', 'Polynomial Chaos Regression');
grid on;