四阶非正交多项式4维函数回归预测 matlab示例 不使用polyfitn

假设我们有一个四维数据集，包含输入变量x1、x2、x3和x4以及相应的输出变量y。我们想要训练一个回归模型来预测y，并使用四阶非正交多项式来拟合数据。

以下是一个matlab示例代码，演示如何使用最小二乘法和高斯-约旦消元法来拟合四阶非正交多项式。

首先，我们生成一个假的数据集：

x1 = linspace(-1,1,100)';
x2 = linspace(-1,1,100)';
x3 = linspace(-1,1,100)';
x4 = linspace(-1,1,100)';
y = 2*x1 + 3*x2.^2 + 4*x3.^3 + 5*x4.^4 + randn(100,1)*0.1;

现在，我们定义一个函数来计算四阶非正交多项式：

function [P] = fourth_order_poly(x)
P = [1, x(1), x(2), x(3), x(4), ...
x(1)^2, x(1)*x(2), x(1)*x(3), x(1)*x(4), x(2)^2, x(2)*x(3), x(2)*x(4), x(3)^2, x(3)*x(4), x(4)^2, ...
x(1)^3, x(1)^2*x(2), x(1)^2*x(3), x(1)^2*x(4), x(1)*x(2)^2, x(1)*x(2)*x(3), x(1)*x(2)*x(4), x(1)*x(3)^2, x(1)*x(3)*x(4), x(1)*x(4)^2, x(2)^3, x(2)^2*x(3), x(2)^2*x(4), x(2)*x(3)^2, x(2)*x(3)*x(4), x(2)*x(4)^2, x(3)^3, x(3)^2*x(4), x(3)*x(4)^2, x(4)^3];
end

接下来，我们将每个输入变量映射到四阶非正交多项式：

X = zeros(length(x1), 35);
for i = 1:length(x1)
X(i,:) = fourth_order_poly([x1(i), x2(i), x3(i), x4(i)]);
end

现在，我们可以使用最小二乘法来计算模型参数：

beta = (X'*X)\(X'*y);

最后，我们可以使用训练好的模型来预测新的输入变量：

x1_new = linspace(-1,1,50)';
x2_new = linspace(-1,1,50)';
x3_new = linspace(-1,1,50)';
x4_new = linspace(-1,1,50)';
y_pred = zeros(length(x1_new),1);
for i = 1:length(x1_new)
y_pred(i) = fourth_order_poly([x1_new(i), x2_new(i), x3_new(i), x4_new(i)])*beta;
end

我们可以将训练数据和预测结果可视化：

figure;
plot3(x1,x2,x3,'o', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerEdgeColor', 'b');
hold on;
plot3(x1_new,x2_new,x3_new,'.', 'MarkerSize', 5, 'Color', 'r');
xlabel('x1');
ylabel('x2');
zlabel('x3');
legend('Training data', 'Prediction');
title('Four-dimensional polynomial regression');

注意：由于四阶非正交多项式具有很高的复杂度，因此在实际应用中，可能需要根据实际情况选择合适的多项式阶数来进行拟合，以避免过拟合。