用基本的QR方法求高阶三对角矩阵全部特征值和特征向量

要用QR方法求解高阶三对角矩阵的全部特征值和特征向量，可以按照以下步骤进行：

1. 首先，使用Householder变换将三对角矩阵A转化为上Hessenberg矩阵H，即：

H = Q1^T * A * Q1

其中Q1是一个正交矩阵，可以由一系列Householder变换构造出来。

2. 对H进行QR分解，即：

H = Q2 * R

其中Q2是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。

3. 将R分解为一个对角矩阵D和一个上三角矩阵S，即：

R = D * S

其中D是R的对角线元素，S的非对角线元素为0。

4. 因为A和H相似，所以它们的特征值相同，因此求解H的特征值即可得到A的特征值。H的特征值为D的对角线元素。

5. 对于每个特征值λ，可以通过求解线性方程组(H-λI)x=0得到对应的特征向量x。

6. 由于Q1和Q2都是正交矩阵，因此特征向量可以表示为x=Q1*y，其中y是由第5步得到的特征向量。

7. 重复步骤1-6，直到所有特征值和特征向量都被求解出来。

需要注意的是，QR方法对于大型矩阵的求解效率较低，可以考虑使用更高级的算法。