用matlab分别实现基本的QR方法和上Hessenberg阵的QR方法求高阶三对角矩阵 全部特征值和特征向量

以下是在Matlab中实现基本的QR方法和上Hessenberg阵的QR方法求高阶三对角矩阵全部特征值和特征向量的代码示例：

基本的QR方法：

function [eigval, eigvec] = QR_algorithm(A, eps)
% 基本的QR算法求三对角矩阵A的全部特征值和特征向量

n = size(A, 1);
eigval = zeros(n, 1);
eigvec = eye(n);

while max(max(abs(tril(A, -1)))) > eps
    [Q, R] = qr(A);
    A = R * Q;
    eigvec = eigvec * Q;
end

for i = 1:n
    eigval(i) = A(i, i);
end

end

上Hessenberg阵的QR方法：

function [eigval, eigvec] = Hessenberg_QR_algorithm(A, eps)
% 上Hessenberg阵的QR算法求三对角矩阵A的全部特征值和特征向量

n = size(A, 1);
eigval = zeros(n, 1);
eigvec = eye(n);

% 将A转化为上Hessenberg矩阵
for k = 1:n-2
    [v, beta] = house(A(k+1:n, k));
    A(k+1:n, k:n) = A(k+1:n, k:n) - beta * v * (v' * A(k+1:n, k:n));
    A(1:n, k+1:n) = A(1:n, k+1:n) - beta * (A(1:n, k+1:n) * v) * v';
    eigvec(k+1:n, :) = eigvec(k+1:n, :) - beta * v * (v' * eigvec(k+1:n, :));
end

while max(max(abs(tril(A, -1)))) > eps
    [Q, R] = qr(A);
    A = R * Q;
    eigvec = eigvec * Q;
end

for i = 1:n
    eigval(i) = A(i, i);
end

end

function [v, beta] = house(x)
% Householder变换

n = length(x);
sigma = x(2:end)' * x(2:end);
v = [1; x(2:end)];
if sigma == 0
    beta = 0;
else
    mu = sqrt(x(1)^2 + sigma);
    if x(1) <= 0
        v(1) = x(1) - mu;
    else
        v(1) = -sigma / (x(1) + mu);
    end
    beta = 2 * v(1)^2 / (sigma + v(1)^2);
    v = v / v(1);
end

end

其中，Householder变换用于将矩阵转化为上Hessenberg矩阵。在实现中，使用了Matlab内置的qr函数求解QR分解。