MATLAB实现Hessenberg QR迭代算法

Hessenberg QR迭代算法是一种用于计算实矩阵特征值和特征向量的算法，其主要思想是通过QR分解将矩阵不断转化为上Hessenberg矩阵，进而利用隐式Q定理求解特征值和特征向量。以下是MATLAB实现Hessenberg QR迭代算法的代码：

function [Q,H] = hessenbergQR(A)
% Hessenberg QR iteration for finding eigenvalues and eigenvectors
% Input:
%   A: a real matrix
% Output:
%   Q: the orthogonal matrix of eigenvectors
%   H: the upper Hessenberg matrix of eigenvalues
% Reference:
%   G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, 4th Edition, 2013.

n = size(A,1);
Q = eye(n);
H = A;

for k = 1:n-2
    % zero out below the subdiagonal
    x = H(k+1:n,k);
    v = [sign(x(1))*norm(x);x(2:end)];
    v = v/norm(v);
    H(k+1:n,k:n) = H(k+1:n,k:n) - 2*v*(v'*H(k+1:n,k:n));
    H(1:n,k+1:n) = H(1:n,k+1:n) - 2*(H(1:n,k+1:n)*v)*v';
    Q(:,k+1:n) = Q(:,k+1:n) - 2*(Q(:,k+1:n)*v)*v';
end

% obtain the Schur form
for k = 1:n-1
    % perform QR decomposition
    [Qk,Rk] = qr(H(k:n,k:n));
    H(k:n,k:n) = Rk*Qk;
    Q(:,k:n) = Q(:,k:n)*Qk;
end
end

其中，函数输入为一个实矩阵A，输出为其特征值和特征向量构成的上Hessenberg矩阵H和对应的正交矩阵Q。在函数中，首先通过Householder变换将A转化为上Hessenberg矩阵，然后通过QR迭代将H转化为Schur矩阵，最后通过Q矩阵的累积乘积得到A的特征向量矩阵。