隐式qr法求实矩阵的全部特征根matlab实现
时间: 2023-12-17 18:00:41 浏览: 78
隐式QR方法是一种用于求解实矩阵全部特征根的数值计算方法,Matlab可以实现此方法。
首先,假设我们需要求解的实矩阵A的全部特征根。我们可以使用隐式QR方法来迭代计算。
1. 首先,将矩阵A分解为A=QR,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵。可以使用Matlab中的函数[Q, R] = qr(A)来实现这一步骤。
2. 然后,计算矩阵T = R * Q,得到一个新的实矩阵T。
3. 对T进行相似变换,将其转化为一个Hessenberg矩阵,即T = U * H * U',其中U为正交矩阵,H为Hessenberg矩阵。可以使用Matlab中的函数H = hess(T)来实现这一步骤。
4. 再次进行QR分解,将H分解为H = QR,得到一个新的实矩阵Q和上三角矩阵R。
5. 重复步骤2和步骤4,直到矩阵R的对角线元素足够接近于实数或为0。
6. 最后,矩阵R的对角线元素即为矩阵A的全部特征值。
以上就是用隐式QR方法求解实矩阵全部特征根的Matlab实现方法。通过迭代计算QR分解和Hessenberg分解,可以逐步逼近实矩阵的全部特征根。
相关问题
隐式QR算法求实矩阵的全部特征值与特征向量的matlab代码
以下是利用隐式QR算法求实矩阵的全部特征值与特征向量的MATLAB代码:
```matlab
function [eigenvalues, eigenvectors] = implicit_qr(A, tol)
% 隐式QR算法求实矩阵的全部特征值与特征向量
[n, ~] = size(A);
eigenvectors = eye(n);
while max(max(abs(triu(A,1)))) > tol
for i = 1:n-1
if abs(A(i+1,i)) > tol
% 计算反应向量
v = [A(i,i) - A(n,n), A(i,i+1); A(i+1,i), A(i+1,i+1) - A(n,n)] \ [0; A(i+1,i)];
% 对A进行相似变换
H = eye(n);
H(i:i+1,i:i+1) = eye(2) - 2 * v * v' / norm(v)^2;
A = H' * A * H;
eigenvectors = eigenvectors * H;
end
end
end
eigenvalues = diag(A);
end
```
其中,输入参数`A`为实矩阵,`tol`为阈值,控制算法的精度。输出参数`eigenvalues`为矩阵`A`的全部特征值,`eigenvectors`为矩阵`A`的全部特征向量,每一列为一个特征向量。
该算法采用隐式QR算法,通过相似变换将矩阵`A`转化为上三角矩阵,从而求出矩阵`A`的全部特征值。在变换的过程中,利用Householder变换来消去矩阵`A`中的下三角元素,从而实现相似变换。在每一次变换中,同时更新特征向量的值。
请用隐式QR算法编制一个求实矩阵全部特征值和特征向量的matlab程序
好的,以下是使用隐式QR算法求实矩阵全部特征值和特征向量的Matlab程序:
```Matlab
function [eigenvalues, eigenvectors] = qr_algorithm(A, eps, max_iter)
% 使用隐式QR算法求实矩阵全部特征值和特征向量
% A: 需要求特征值和特征向量的实矩阵
% eps: 精度
% max_iter: 最大迭代次数
% eigenvalues: 特征值
% eigenvectors: 特征向量
n = size(A, 1);
Q = eye(n);
iter_count = 0;
while iter_count < max_iter
% 计算QR分解
[Q_, R] = qr(A * Q);
% 更新Q
Q = Q * Q_;
% 计算下一轮迭代的矩阵
A = R * Q;
% 判断是否收敛
off_diag = abs(A - diag(diag(A)));
if max(off_diag(:)) < eps
break;
end
iter_count = iter_count + 1;
end
% 计算特征值和特征向量
eigenvalues = diag(A);
eigenvectors = Q;
for i = 1:n
for j = 1:max_iter
if abs(A(i, i) - eigenvalues(i)) < eps
break;
end
[Q_, R] = qr((A - eigenvalues(i) * eye(n)) * Q);
Q = Q * Q_;
A = R * Q + eigenvalues(i) * Q;
end
eigenvectors(:, i) = Q(:, i);
end
```
这段Matlab代码与Python版的实现类似,只是语法上有些许差异。同样地,函数接受一个需要求特征值和特征向量的实矩阵,以及精度和最大迭代次数两个可选参数。它返回一个元组,包含特征值和特征向量。
使用隐式QR算法求解实矩阵的特征值和特征向量的步骤与前面Python版的实现相同,这里不再赘述。在Matlab中,使用qr函数进行QR分解,同时需要注意使用diag函数获取矩阵的对角线元素,并使用eye函数创建单位矩阵。
需要注意的是,Matlab中的索引从1开始,而不是从0开始。因此,在两个for循环中,需要将索引从1开始。