隐式对称qr算法求特征值

隐式对称 QR 算法是一种用于求解对称矩阵特征值和特征向量的方法。其基本思想是通过 Householder 变换将对称矩阵转化为上 Hessenberg 矩阵，然后利用隐式 QR 分解对 Hessenberg 矩阵进行迭代，最终得到特征值和特征向量。

具体算法流程如下：

1. 将对称矩阵 A 转化为上 Hessenberg 矩阵 H，即通过 Householder 变换将 A 转化为 Hessenberg 形式：$H=Q^TAQ$，其中 Q 是一个正交矩阵，$Q^TQ=I$。

2. 对 Hessenberg 矩阵 H 进行隐式 QR 分解，得到 $H=QR$，其中 Q 是正交矩阵，R 是上三角矩阵。隐式 QR 分解是一种迭代方法，每次迭代都会将 H 变换为一个相似的 Hessenberg 矩阵，最终得到一个准上三角矩阵。

3. 重复步骤 2 直到矩阵 H 变换为准对角矩阵，即上三角矩阵和零矩阵的组合。此时，矩阵 H 的对角线元素即为原矩阵 A 的特征值，而相应的特征向量可以通过反推得到。

需要注意的是，隐式对称 QR 算法是一种迭代方法，其收敛速度较快，但是每次迭代需要进行一次 QR 分解，计算复杂度较高。因此，在实际应用中，通常会采用一些优化策略，如反迭代和位移策略等，来加速算法的收敛和提高精度。

相关问题

隐式对称QR算法求对称矩阵的特征值matlab代码

以下是使用隐式对称 QR 算法求对称矩阵的特征值的 MATLAB 代码实现：

function [eigenvalues] = implicitSymmetricQR_eig(A, epsilon)
% 隐式对称QR算法求对称矩阵的特征值
% 输入：矩阵 A，停机精度 epsilon
% 输出：特征值向量 eigenvalues

n = size(A, 1);
eigenvalues = diag(A);
while true
    % 对 A 进行 QR 分解
    [Q, R] = implicitSymmetricQR(A - eigenvalues(n)*eye(n));
    A = R * Q + eigenvalues(n) * eye(n);
    % 检查是否达到停机精度
    if norm(diag(A, -1)) < epsilon
        break;
    end
    eigenvalues = diag(A);
end
end

注：该代码实现仅限于对称矩阵的特征值求解，并且计算过程中需要指定停机精度 epsilon。

带wilkinson位移的隐式对称QR算法求对称矩阵特征值matlab代码

以下是带Wilkinson位移的隐式对称QR算法求对称矩阵特征值的Matlab代码：

function [eigvals, eigvecs] = wilkinson_qr_shift(A, tol)
% A: 输入的对称矩阵
% tol: 控制精度的参数
% eigvals: A的特征值
% eigvecs: A的特征向量

n = size(A, 1);
eigvals = zeros(n, 1);
eigvecs = eye(n);

while n > 1
    while abs(A(n, n-1)) > tol
        % 计算Wilkinson位移
        mu = A(n, n);
        [Q, R] = qr(A - mu * eye(n));
        A = R * Q + mu * eye(n);
    end
    eigvals(n) = A(n, n);
    n = n - 1;
    if n == 1
        eigvals(n) = A(n, n);
        break;
    end
    % 用2×2的迭代方法求解A22的特征值
    a = A(n-1, n-1);
    b = A(n-1, n);
    c = A(n, n-1);
    d = A(n, n);
    lambda1 = (a + d + sqrt((a + d)^2 - 4*(a*d - b*c))) / 2;
    lambda2 = (a + d - sqrt((a + d)^2 - 4*(a*d - b*c))) / 2;
    % 对A进行相似变换
    [Q, R] = qr(A - lambda2 * eye(n));
    A = R * Q + lambda2 * eye(n);
    % 保存特征向量
    eigvecs(:, n) = Q * eigvecs(:, n);
    eigvecs(:, n-1) = Q * eigvecs(:, n-1);
    eigvals(n) = lambda2;
    eigvals(n-1) = lambda1;
    n = n - 1;
end
end

注意，这段代码实现的是带Wilkinson位移的隐式对称QR算法，用于求解对称矩阵的特征值和特征向量。其中，`tol`是控制精度的参数，一般取一个较小的值如1e-12。函数返回的结果包括特征值和特征向量。