实对称矩阵隐式QR迭代法求特征值
时间: 2023-06-26 13:02:11 浏览: 176
实对称矩阵隐式QR迭代法是一种求解实对称矩阵特征值的方法。它的基本思想是通过一系列的相似变换,将一个实对称矩阵A转化为一个特殊的上Hessenberg矩阵H,然后通过隐式QR迭代算法不断地迭代H,使其收敛到一个实对称三对角矩阵。最后,通过求解三对角矩阵的特征值,得到原矩阵A的特征值。
具体而言,实对称矩阵隐式QR迭代法的流程如下:
1. 对于给定的实对称矩阵A,通过Householder变换将其转化为一个特殊的上Hessenberg矩阵H。
2. 通过隐式QR迭代算法对H进行迭代,使其收敛到一个实对称三对角矩阵T。
3. 对三对角矩阵T求解特征值,得到原矩阵A的特征值。
需要注意的是,实对称矩阵隐式QR迭代法是一种迭代算法,其收敛速度与初始矩阵的选择有关。通常情况下,可以通过一些启发式的方法选择一个较好的初始矩阵,以加速算法的收敛。
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隐式对称qr算法求特征值
隐式对称 QR 算法是一种用于求解对称矩阵特征值和特征向量的方法。其基本思想是通过 Householder 变换将对称矩阵转化为上 Hessenberg 矩阵,然后利用隐式 QR 分解对 Hessenberg 矩阵进行迭代,最终得到特征值和特征向量。
具体算法流程如下:
1. 将对称矩阵 A 转化为上 Hessenberg 矩阵 H,即通过 Householder 变换将 A 转化为 Hessenberg 形式:$H=Q^TAQ$,其中 Q 是一个正交矩阵,$Q^TQ=I$。
2. 对 Hessenberg 矩阵 H 进行隐式 QR 分解,得到 $H=QR$,其中 Q 是正交矩阵,R 是上三角矩阵。隐式 QR 分解是一种迭代方法,每次迭代都会将 H 变换为一个相似的 Hessenberg 矩阵,最终得到一个准上三角矩阵。
3. 重复步骤 2 直到矩阵 H 变换为准对角矩阵,即上三角矩阵和零矩阵的组合。此时,矩阵 H 的对角线元素即为原矩阵 A 的特征值,而相应的特征向量可以通过反推得到。
需要注意的是,隐式对称 QR 算法是一种迭代方法,其收敛速度较快,但是每次迭代需要进行一次 QR 分解,计算复杂度较高。因此,在实际应用中,通常会采用一些优化策略,如反迭代和位移策略等,来加速算法的收敛和提高精度。
隐式对称QR算法求对称矩阵的特征值matlab代码
以下是使用隐式对称 QR 算法求对称矩阵的特征值的 MATLAB 代码实现:
```matlab
function [eigenvalues] = implicitSymmetricQR_eig(A, epsilon)
% 隐式对称QR算法求对称矩阵的特征值
% 输入:矩阵 A,停机精度 epsilon
% 输出:特征值向量 eigenvalues
n = size(A, 1);
eigenvalues = diag(A);
while true
% 对 A 进行 QR 分解
[Q, R] = implicitSymmetricQR(A - eigenvalues(n)*eye(n));
A = R * Q + eigenvalues(n) * eye(n);
% 检查是否达到停机精度
if norm(diag(A, -1)) < epsilon
break;
end
eigenvalues = diag(A);
end
end
```
注:该代码实现仅限于对称矩阵的特征值求解,并且计算过程中需要指定停机精度 epsilon。