隐式对称QR算法matlab代码

以下是隐式对称QR算法的 MATLAB 代码实现，其中假设输入矩阵为 A：

function [Q, R] = implicitSymmetricQR(A)
% 隐式对称QR算法
% 输入：矩阵 A
% 输出：Q 和 R 分解

[m, n] = size(A);
Q = eye(m);
for k = 1:n
    % 计算 R 中的对角线元素和下三角元素
    [v, beta] = householder(A(k:m, k));
    A(k:m, k:n) = (eye(m-k+1) - beta * v * v') * A(k:m, k:n);
    % 计算 Q 中的元素
    Q(k:m, :) = (eye(m-k+1) - beta * v * v') * Q(k:m, :);
end
R = triu(A);
end

function [v, beta] = householder(x)
% 计算 Householder 变换向量 v 和缩放因子 beta
% 输入：向量 x
% 输出：向量 v 和缩放因子 beta

n = length(x);
if x(1) >= 0
    sigma = norm(x);
else
    sigma = -norm(x);
end
v = x;
v(1) = v(1) + sigma;
if norm(v) == 0
    beta = 0;
else
    beta = 2 / (v' * v);
end
v = v / norm(v);
end

注：该代码实现仅限于对称矩阵的 QR 分解。