matlab中的qr函数的原理，以及用基本的QR方法和上hessenberg阵的qr方法求得三对角矩阵的特征值完全一样吗

MATLAB中的qr函数是用基于Householder变换的QR分解算法实现的。该算法基于矩阵的QR分解，将原矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。通过这种方式，可以将矩阵A分解为一系列的正交基向量和上三角矩阵R，这样就可以进行后续的计算。

基本的QR方法和上Hessenberg阵的QR方法都可以用于求解三对角矩阵的特征值，但是它们的实现方式略有不同。基本的QR方法是直接对矩阵进行QR分解，而上Hessenberg阵的QR方法是先将矩阵通过Householder变换变为上Hessenberg阵，再进行QR分解。理论上讲，两种方法得到的特征值应该是完全一样的。但是在实际计算中，由于计算机的舍入误差等因素，两种方法得到的特征值可能会略有不同。

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用matlab分别实现基本的QR方法和上Hessenberg阵的QR方法求高阶三对角矩阵 全部特征值和特征向量

以下是在Matlab中实现基本的QR方法和上Hessenberg阵的QR方法求高阶三对角矩阵全部特征值和特征向量的代码示例：

基本的QR方法：

function [eigval, eigvec] = QR_algorithm(A, eps)
% 基本的QR算法求三对角矩阵A的全部特征值和特征向量

n = size(A, 1);
eigval = zeros(n, 1);
eigvec = eye(n);

while max(max(abs(tril(A, -1)))) > eps
    [Q, R] = qr(A);
    A = R * Q;
    eigvec = eigvec * Q;
end

for i = 1:n
    eigval(i) = A(i, i);
end

end

上Hessenberg阵的QR方法：

function [eigval, eigvec] = Hessenberg_QR_algorithm(A, eps)
% 上Hessenberg阵的QR算法求三对角矩阵A的全部特征值和特征向量

n = size(A, 1);
eigval = zeros(n, 1);
eigvec = eye(n);

% 将A转化为上Hessenberg矩阵
for k = 1:n-2
    [v, beta] = house(A(k+1:n, k));
    A(k+1:n, k:n) = A(k+1:n, k:n) - beta * v * (v' * A(k+1:n, k:n));
    A(1:n, k+1:n) = A(1:n, k+1:n) - beta * (A(1:n, k+1:n) * v) * v';
    eigvec(k+1:n, :) = eigvec(k+1:n, :) - beta * v * (v' * eigvec(k+1:n, :));
end

while max(max(abs(tril(A, -1)))) > eps
    [Q, R] = qr(A);
    A = R * Q;
    eigvec = eigvec * Q;
end

for i = 1:n
    eigval(i) = A(i, i);
end

end

function [v, beta] = house(x)
% Householder变换

n = length(x);
sigma = x(2:end)' * x(2:end);
v = [1; x(2:end)];
if sigma == 0
    beta = 0;
else
    mu = sqrt(x(1)^2 + sigma);
    if x(1) <= 0
        v(1) = x(1) - mu;
    else
        v(1) = -sigma / (x(1) + mu);
    end
    beta = 2 * v(1)^2 / (sigma + v(1)^2);
    v = v / v(1);
end

end

其中，Householder变换用于将矩阵转化为上Hessenberg矩阵。在实现中，使用了Matlab内置的qr函数求解QR分解。

用基本的QR方法求高阶三对角矩阵全部特征值和特征向量

要用QR方法求解高阶三对角矩阵的全部特征值和特征向量，可以按照以下步骤进行：

1. 首先，使用Householder变换将三对角矩阵A转化为上Hessenberg矩阵H，即：

H = Q1^T * A * Q1

其中Q1是一个正交矩阵，可以由一系列Householder变换构造出来。

2. 对H进行QR分解，即：

H = Q2 * R

其中Q2是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。

3. 将R分解为一个对角矩阵D和一个上三角矩阵S，即：

R = D * S

其中D是R的对角线元素，S的非对角线元素为0。

4. 因为A和H相似，所以它们的特征值相同，因此求解H的特征值即可得到A的特征值。H的特征值为D的对角线元素。

5. 对于每个特征值λ，可以通过求解线性方程组(H-λI)x=0得到对应的特征向量x。

6. 由于Q1和Q2都是正交矩阵，因此特征向量可以表示为x=Q1*y，其中y是由第5步得到的特征向量。

7. 重复步骤1-6，直到所有特征值和特征向量都被求解出来。

需要注意的是，QR方法对于大型矩阵的求解效率较低，可以考虑使用更高级的算法。