Hessenberg QR 迭代求解特征值和特征向量matlab代码

以下是使用 Hessenberg-QR 迭代方法求解矩阵特征值和特征向量的 MATLAB 代码：

function [eigvals, eigvecs] = hessenberg_qr(A, tol, max_iter)
% 使用 Hessenberg-QR 迭代方法求解矩阵特征值和特征向量

n = size(A, 1);
eigvals = zeros(n, 1);
eigvecs = eye(n);

for k = 1:max_iter
    % 将 A 转化为 Hessenberg 矩阵
    [Q, H] = hessenberg(A);
    % 使用 QR 分解求解特征值和特征向量
    [Q, R] = qr_givens(H);
    A = R * Q + Q' * A * Q;
    eigvals = diag(A);
    eigvecs = eigvecs * Q;
    % 检查是否收敛
    if norm(tril(A, -1), 'fro') < tol
        break;
    end
end
end

function [Q, H] = hessenberg(A)
% 将矩阵 A 转换为 Hessenberg 矩阵

n = size(A, 1);
H = A;
Q = eye(n);

for k = 1:n-2
    % 计算 Householder 矩阵
    x = H(k+1:n, k);
    v = x;
    v(1) = v(1) + sign(x(1)) * norm(x);
    v = v / norm(v);
    % 应用 Householder 变换
    H(k+1:n, k:n) = H(k+1:n, k:n) - 2 * v * (v' * H(k+1:n, k:n));
    H(1:n, k+1:n) = H(1:n, k+1:n) - 2 * (H(1:n, k+1:n) * v) * v';
    Q(:, k+1:n) = Q(:, k+1:n) - 2 * (Q(:, k+1:n) * v) * v';
end
end

这个函数接受一个矩阵 A、一个容差 tol 和一个最大迭代次数 max_iter 作为输入，返回矩阵的特征值和特征向量。函数使用 Hessenberg-QR 迭代方法，该方法通过将矩阵转换为 Hessenberg 矩阵，然后使用 QR 分解来求解特征值和特征向量。

函数开始时，将 A 转换为 Hessenberg 矩阵。然后，函数进入一个迭代循环，在每个迭代步骤中，它使用 QR 分解来计算 Hessenberg 矩阵的特征值和特征向量。然后，函数用新的特征值和特征向量更新 Hessenberg 矩阵和特征向量矩阵。

在每个迭代步骤中，函数检查 Hessenberg 矩阵的下三角部分是否已经足够接近于零。如果是，则停止迭代。否则，函数继续迭代，直到达到最大迭代次数。

函数还包括一个辅助函数 hessenberg，该函数将矩阵 A 转换为 Hessenberg 矩阵。它使用 Householder 变换来将矩阵 A 转换为 Hessenberg 矩阵。