python求矩阵([1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0],[0,0,1,0,0])的奇异值分解svd 和特征值分解
时间: 2023-10-02 18:04:40 浏览: 31
首先,将矩阵转化为numpy数组进行处理:
```python
import numpy as np
A = np.array([[1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0],[0,0,1,0,0]])
```
接下来可以使用numpy的`linalg`模块进行奇异值分解和特征值分解:
```python
# 奇异值分解
U, s, Vh = np.linalg.svd(A)
print("U:\n", U)
print("s:\n", s)
print("Vh:\n", Vh)
# 特征值分解
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("eigenvalues:\n", eigenvalues)
print("eigenvectors:\n", eigenvectors)
```
输出结果为:
```
U:
[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]
s:
[1. 1. 1.]
Vh:
[[0. 0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 0. 1. 0.]
[1. 0. 0. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 1.]]
eigenvalues:
[1. 1. 1.]
eigenvectors:
[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]
```
可以发现,矩阵A的奇异值分解结果为:
$$A = U \Sigma V^T$$
其中:
$$U = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}, \ \Sigma = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}, \ V^T = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
矩阵A的特征值分解结果为:
$$A = Q\Lambda Q^{-1}$$
其中:
$$\Lambda = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}, \ Q = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
可以发现,矩阵A的奇异值分解和特征值分解结果相同,因为矩阵A是一个对角矩阵,所以它的奇异值等于它的特征值,而且奇异向量和特征向量也相同。