matlab 实现用block gmres 算法解决多右端最小二乘问题
时间: 2024-05-06 07:17:01 浏览: 19
多右端最小二乘问题可以表示为 $A\mathbf{X}=\mathbf{B}$,其中 $A$ 为 $m\times n$ 的矩阵,$\mathbf{X}$ 为 $n\times p$ 的矩阵,$\mathbf{B}$ 为 $m\times p$ 的矩阵,即有 $p$ 个右端向量。
Block GMRES 算法是 GMRES 算法的一种扩展,用于解决多右端情况下的线性方程组。下面给出 MATLAB 实现。
```matlab
function [X, Res] = block_gmres(A, B, X0, m, tol, max_it)
% A: m*n matrix
% B: m*p matrix
% X0: initial guess for X
% m: number of iterations
% tol: tolerance
% max_it: maximum number of iterations
[m, n] = size(A);
p = size(B, 2);
X = X0;
R = B - A*X;
Q = zeros(m, m, p);
H = zeros(m*(m+1), m*p);
V = reshape(R, m, p);
Res = zeros(1, max_it);
for j = 1:max_it
Q(:, :, 1) = R ./ vecnorm(R);
V(:, :, 1) = R;
for i = 1:m
Z = A*reshape(Q(:, :, i), n, p);
for k = 1:i
H((k-1)*m+1:k*m, (i-1)*p+1:i*p) = reshape(Q(:, :, k)'*Z, m, p);
Z = Z - reshape(Q(:, :, k)*H((k-1)*m+1:k*m, (i-1)*p+1:i*p)', n, p);
end
H(i*m+1:(i+1)*m, (i-1)*p+1:i*p) = reshape(Z, m, p);
[U, S, V] = svd(reshape(H(1:(i+1)*m, 1:i*p), (i+1)*m, p), 'econ');
R_norm = norm(S(i+1, :), 'fro');
Res(j) = R_norm;
if R_norm < tol
break;
end
y = U(:, 1:i+1)*(S(1:i+1, 1:i+1)\(V(:, 1:i*p)'*reshape(V(1:m*(i+1), :), m, (i+1)*p)));
X = X + reshape(Q(:, :, 1:i)*y, n, p);
R = B - A*X;
Q(:, :, i+1) = R ./ vecnorm(R);
V(:, :, i+1) = reshape(R, m, p);
end
if R_norm < tol
break;
end
end
end
```
其中,`vecnorm` 函数用于计算向量的二范数,`svd` 函数用于计算奇异值分解。函数的输出为 $X$ 和残差向量的二范数 $\|B-A\mathbf{X}\|_F$。
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